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TD EM4 : Conducteurs en équilibre et condensateurs
Exercice 1 : capacité du condensateur plan
Soit deux armatures métalliques parallèles de surfaces $S$ égales, supposées très grandes devant l'épaisseur \(e\) entre les armatures. Ces armatures sont placées dans le vide. Établir, en fonction de $S$ et $e$, l'expression de la capacité du condensateur plan ainsi formé.
Condensateur plan
Il faut d'abord écrire l'expression vectorielle du champ électrique qui règne dans l'espace inter-armatures de ce condensateur, en fonction de $\overrightarrow{u}_y$.
Ensuite, on exprime la différence de potentiel entre les deux armatures. On appelle A l'armature positive et B l'armature négative. On peut utiliser la relation \(\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V\)
On utilise ensuite \(Q = CU\) soit \(Q=C(V(A)-V(B))\), et \(Q=\sigma S\), afin d'obtenir :
\begin{equation}C=\dfrac{\epsilon_0 S}{e}\end{equation}
Exercice 2 : un condensateur plan d'épaisseur variable
Soit un condensateur plan constitué de deux armatures placées perpendiculairement à l'axe O$x$. L'armature positive porte la charge $+Q$ et est située à l'abscisse $x = 0$ ; l'armature négative est située à l'abscisse $x = e$. On note $U$ la tension positive établie entre ces armatures. On connaît, depuis l'exercice 1, l'expression de la capacité du condensateur plan.
Le condensateur étant isolé (la charge des armatures reste constante), on déplace l'armature négative de l'abscisse \(e\) à l'abscisse \(e+h\). Établir l'expression de la nouvelle tension $U'$ qui s'établit entre les armatures.
Quel travail fournit l'opérateur lors de ce déplacement ?
Quelle est la variation d'énergie potentielle du condensateur quand il passe de sa position initiale à sa position finale ? Conclure.
Il faut partir de l'expression de la capacité du condensateur plan épais de \(e+h\)
Il faut ensuite utiliser la relation entre la capacité, la charge et la tension en sachant que nous travaillons à charge constante (condensateur isolé).
Condensateur a armature mobile
Le déplacement concerne l'armature négative qui porte la charge $-Q$, elle est plongée dans le champ créé par l'armature positive.
Il faut calculer le travail de la force de Coulomb subie par celle-ci.
Le travail de l'opérateur est l'opposé du travail de la force de Coulomb.
Il faut calculer l'énergie potentielle électrostatique du condensateur dans son état initial (épaisseur = \(e\)) et son énergie dans son état final (épaisseur = \(e+h\)) à l'aide des formules bien connues $\left(E_P = \frac{1}{2}Q^2\,C\right)$
Ce qui signifie que l'opérateur lutte contre la force de Coulomb pour augmenter l'énergie potentielle du condensateur.
Exercice 3 : le condensateur cylindrique
Soit un condensateur cylindrique composé d'une armature cylindrique positive de rayon \(R_1\) de hauteur \(h\) portant la charge \(+Q\) entouré d'une armature cylindrique négative de rayon \(R_2\) (>\(R_1\)) de hauteur \(h\) portant la charge \(-Q\). Les armatures portent une densité surfacique de charge uniforme (\(\sigma\)). On suppose que l'espace inter-armatures est faible et qu'à ce titre, les surfaces des armatures sont égales. On donne les expressions du champ électrique créé par un cylindre uniformément chargé en surface :
Trouver l'expression du champ électrique total qui règne dans l'espace entre-armatures.
Calculer la circulation du champ \(\overrightarrow{E}\) le long d'un chemin "intéressant" entre \(R_1\) et \(R_2\).
Quelle relation existe entre la circulation de \(\overrightarrow{E}\) et le potentiel ?
Connaissant la relation entre la charge, la tension et la capacité, en déduire la capacité de ce condensateur en fonction de \(h\), \(R_1\) et \(R_2\).
Regarder bien les expressions qui sont donnés dans l'énoncé, que reste-t-il entre les armatures ?
Pour se faire, il faut calculer la circulation du champ inter-armatures sur une ligne de champ allant du conducteur de rayon \(R_1\) au conducteur de rayon \(R_2\). On se dirige donc suivant un \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \mathrm{d}r\, \overrightarrow{u}_r\).
On sait aussi que cette circulation est égale à la différence de potentiel entre les deux conducteurs.