flèche de retour

Licence 1 > Mécanique 2 > Cours 23 : changement de référentiel, référentiels non galiléens

M23 : changement de référentiel,
référentiels non galiléens

Le chapitre est disponible en intégralité en vidéos avec cette playlist youtube :

Si vous souhaitez avoir accès à une notion particulière les 4 séquences sont ici :

  1. Formule de Bour et lois de composition des vitesses et des accélérations
  2. Cas de la translation accélérée et de la rotation uniforme, PFD en référentiel non galiléen (force centrifuge et de Coriolis)
  3. Cas de la rotation uniforme dans un référentiel galiléen et un référentiel non galiléen, théorème du moment cinétique et de l'énergie cinétique en référentiel non galiléen.
  4. Applications des forces d'inertie : exemples sur le manège inertiel dans un référentiel terrestre.

Introduction

Pour le moment en mécanique, l’étude des mouvements s’est fait par rapport à un référentiel dans lequel les lois (de Newton par exemple) sont valables : un référentiel de type galiléen. Nous allons voir ici comment faire dans le cas où le référentiel d’étude est en mouvement quelconque par rapport à un référentiel galiléen : la modification des lois pour tenir compte du caractère non galiléen du référentiel d’étude fera apparaître de nouveaux termes spécifiques à ces problèmes.

Formule de Bour et lois de composition

Définition

    La formule de Bour permet de relier la variation dans le temps d’un vecteur dans un référentiel $\mathcal{R}$ fixe avec celle de ce même vecteur dans un référentiel $\mathcal{R'}$, en mouvement quelconque par rapport à $\mathcal{R}$ :

    \begin{equation}\boxed{\left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{U}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{U}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R'}} + \,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \,\overrightarrow{U}}\end{equation}
Position du référentiel en mouvement par rapport au référentiel fixe
Référentiel $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R'}$

Le mouvement quelconque de $\mathcal{R'}$ par rapport à $\mathcal{R}$ est la composition :

Loi de composition des vitesses

La formule de Bour peut s’appliquer à n’importe quel vecteur, notamment au vecteur vitesse d’un point M.
Soit \(\,\overrightarrow{OM}\) le vecteur position de M dans le référentiel \(\mathcal{R}\), on peut écrire :

\begin{equation}\,\overrightarrow{OM}=\,\overrightarrow{OO'}+\,\overrightarrow{O'M}\end{equation}

Donc :

\begin{equation}\left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OO'}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}} + \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{O'M}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}}\end{equation}

En appliquant la formule de Bour au vecteur \(\,\overrightarrow{O'M}\) :

\begin{equation}\begin{matrix} \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}} & = & \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OO'}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}}& + &\left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{O'M}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R'}} &+& \,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'/R}} \wedge \,\overrightarrow{O'M}\\ & & & & & \\ \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}} & = & \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OO'}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}}& + &\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'/R}} \wedge \,\overrightarrow{O'M} &+& \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{O'M}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R'}}\\ & & & & & \\ \,\overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}} & = & \,\overrightarrow{v}(O')_{/\mathcal{R}} & + & \,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'/R}} \wedge \,\overrightarrow{O'M} & + & \,\overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R'}}\\ & & & & & \\ \,\overrightarrow{v}_{\text{absolue}} & = & & \,\overrightarrow{v}_{\text{entrainement}}& &+& \,\overrightarrow{v}_{\text{relative}} \end{matrix}\end{equation}

Explicitons les adjectifs de vitesse utilisés :

Loi de composition des accélérations

Si on dérive la loi de composition des vitesses par rapport au temps dans le référentiel fixe \(\mathcal{R}\), on obtient la loi de composition des accélérations, qui s’écrit :

\begin{equation}\,\overrightarrow{a}_{\text{absolue}} = \,\overrightarrow{a}_{\text{relative}} + \,\overrightarrow{a}_{\text{entrainement}} + \,\overrightarrow{a}_{\text{coriolis}}\end{equation}

Avec :

Simplification des lois de composition dans le cas de mouvements particuliers de \(\mathcal{R'}\) par rapport à \(\mathcal{R}\)

Ces formules sont complexes, mais dans le cas où l’on a uniquement translation, ou uniquement rotation, les expressions se simplifient :

Cas d’un mouvement de translation

Dans ce cas, \(\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} = \,\overrightarrow{0}\). Ainsi :

\begin{equation}\overrightarrow{v}_{\text{entrainement}} = v(O')_{/\mathcal{R}} \quad ; \hspace{0.5cm} \,\overrightarrow{a}_{\text{entrainement}} = a(O')_{/\mathcal{R}} \quad ; \hspace{0.5cm} \,\overrightarrow{a}_{\text{coriolis}} = \,\overrightarrow{0}\end{equation}

Cas d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe

On considère que le référentiel \(\mathcal{R'}\) est en rotation uniforme autour de son axe \(\,\overrightarrow{u}_{z'}\) confondu avec \(\,\overrightarrow{u}_z\). O et O’ sont confondus.
On a donc \(\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} = \dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_z\).

Soit un point M repéré dans le référentiel \(\mathcal{R'}\) par \(\,\overrightarrow{O'M}=r\,\,\overrightarrow{u}_{x'}+z\,\,\overrightarrow{u}_{z'}\).
Calculons la vitesse d’entraînement :

Référentiel en rotation uniforme
Rotation uniforme de $\mathcal{R'}$ par rapport à $\mathcal{R}$
\begin{equation}\begin{aligned} \,\overrightarrow{v}_{\text{entrainement}} &= \left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OO'}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}} + \,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \,\overrightarrow{O'M}\\ &= \,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \,\overrightarrow{O'M}\\ &= \dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_{z'} \wedge (r\,\overrightarrow{u}_{x'}+z\,\overrightarrow{u}_{z'})\\ &= r\,\dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_{y'}\end{aligned}\end{equation}
Repèrage de M dans le cas d'une rotation uniforme
Repérage d'un point M pendant une rotation uniforme

Calculons l’accélération d’entraînement :

\begin{equation}\begin{aligned} \overrightarrow{a}_\mathrm{ent} &= \overrightarrow{a}(O')_{/\mathcal{R}} + \dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}}}{\mathrm{d}t} \wedge \,\overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge (\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{O'M})\\ &= \,\overrightarrow{0} + \,\overrightarrow{0} + \,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{v}_\mathrm{ent} \quad \text{car } \dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}}}{\mathrm{d}t} = \overrightarrow{0} \text{ (rotation uniforme)}\\ &= \dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_{z'} \wedge r\,\dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_{y'}\\ &= - r\, \dot{\theta}^2 \,\overrightarrow{u}_{x'} \end{aligned}\end{equation}

On écrit souvent celle-ci en utilisant H, le projeté de M sur $\overrightarrow{u}_z$ :

\begin{equation}\boxed{\,\overrightarrow{a}_{\text{entrainement}} = -\dot{\theta}^2 \,\overrightarrow{HM}}\end{equation}

Lois de la physique dans les référentiels non galiléens

Référentiel galiléen ou non galiléen

Depuis le secondaire, nous savons qu’un référentiel est galiléen si dans celui-ci la première loi de Newton est vérifiée ; et que tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Cette dernière affirmation implique que l’accélération d’entraînement et l’accélération de Coriolis sont nulles dans un référentiel \(\mathcal{R'}\) en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel \(\mathcal{R}\) galiléen.

Relation fondamentale de la dynamique en référentiel non galiléen

Soit \(\mathcal{R}_g\) un référentiel galiléen et \(\mathcal{R'}\) un référentiel non galiléen. On appelle \(\,\overrightarrow{F}\) la résultante des forces. On a, dans \(\mathcal{R}_g\) :

\begin{equation}\,\overrightarrow{F}=m\,\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}_g}\end{equation}

Or d’après ce que l’on a vu précédemment, on peut écrire :

\begin{equation}\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}_g}=\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'}+\,\overrightarrow{a}_e + \,\overrightarrow{a}_c\end{equation}

D’où :

\begin{equation}\begin{aligned} \,\overrightarrow{F}=m\,\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'}+m\,\,\overrightarrow{a}_e+m\,\,\overrightarrow{a}_c\\ \Longleftrightarrow \,\overrightarrow{F}-m\,\,\overrightarrow{a}_e-m\,\,\overrightarrow{a}_c=m\,\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'} \end{aligned}\end{equation}

Ainsi, on peut écrire la relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen \(\mathcal{R'}\) de la manière suivante :

\begin{equation}\boxed{\,\overrightarrow{F} + \,\overrightarrow{F_{ie}} + \,\overrightarrow{F_{ic}} = m\,\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'} }\end{equation}

Avec :
\( \,\overrightarrow{F_{ie}} = -m\,\,\overrightarrow{a}_e\) une force virtuelle appelée force d’inertie d’entraînement ;
\( \,\overrightarrow{F_{ic}} = -m\,\,\overrightarrow{a}_c\) une force virtuelle appelée force d’inertie de Coriolis.

Ces deux forces ne sont pas réelles car elles n’existent que dans un référentiel donné. Elles sont nulles dans tout référentiel galiléen.

Cas de la rotation uniforme autour d’un axe fixe

Écrivons la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléen du laboratoire :

\begin{equation}\begin{aligned} \sum \,\overrightarrow{F} &= m\, \,\overrightarrow{a}_{/\mathcal{R}_g} \\ \Longleftrightarrow \,\overrightarrow{P}+\,\overrightarrow{R}+\,\overrightarrow{T}&=m\,\,\overrightarrow{a}_{/\mathcal{R}_g} \\ \Longleftrightarrow \,\overrightarrow{T}&=m\,\,\overrightarrow{a}_{/\mathcal{R}_g}\end{aligned}\end{equation}

On peut projeter cette relation dans la base de Frenet, on a :

\begin{equation}\begin{aligned} \text{Sur} \,\overrightarrow{t} &\text{ : } a_t=\dfrac{dv}{\mathrm{d}t}=0 \text{ (rotation uniforme)}\\ \text{Sur} \,\overrightarrow{n} &\text{ : } a_n=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{T}{m}\end{aligned}\end{equation}
Cas de la rotation uniforme, force centripète
Rotation uniforme vue d'un référentiel galiléen

Si la rotation a pour vitesse angulaire \(\omega=\dot{\theta}\), \(v=r\,\dot{\theta}\), on peut écrire que le point M est retenu sur sa trajectoire circulaire par la force \(\,\overrightarrow{T}=-m\dot{\theta}^2\,\overrightarrow{HM}\).

Écrivons maintenant la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel tournant lié au point M, référentiel non galiléen :

\begin{equation}\begin{aligned} & \sum \,\overrightarrow{F} = m\, \,\overrightarrow{a}_{/\mathcal{R}'} \\ \Longleftrightarrow & \,\overrightarrow{P}+\,\overrightarrow{R}+\,\overrightarrow{T}+\,\overrightarrow{F_{ie}}+\,\overrightarrow{F_{ic}}=m\,\,\overrightarrow{a}_{/\mathcal{R}'}\end{aligned}\end{equation}

On a toujours \(\,\overrightarrow{P}+\,\overrightarrow{R}=\,\overrightarrow{0}\).

On a \(\,\overrightarrow{F_{ic}}=-m\,\,\overrightarrow{a_c}_{/\mathcal{R}'}=-m\,2\,\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \,\overrightarrow{v}_{/\mathcal{R}'}\) ;
mais le point M n’a pas de vitesse dans \(\mathcal{R'}\), donc \(\,\overrightarrow{F_{ic}}=\,\overrightarrow{0}\).

Equilibre de M dans le référentiel tournant
Rotation uniforme vue d'un référentiel non galiléen

Enfin de la même manière, si le point M n’a pas de vitesse dans \(\mathcal{R'}\), il n’a pas d’accélération, donc \(\,\overrightarrow{a}_{/\mathcal{R}'}=\,\overrightarrow{0}\).

Finalement :

\begin{equation}\,\overrightarrow{T}+\,\overrightarrow{F_{ie}}=\,\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow \boxed{\,\overrightarrow{F_{ie}} = m\dot{\theta}^2\,\overrightarrow{HM}}\end{equation}

Il y a donc équilibre de M dans le référentiel tournant. Cette force d’inertie \(\,\overrightarrow{F_{ie}}\) représente la force centrifuge ressentie par M au cours de son mouvement de rotation.

Basé sur le même principe que l’établissement de la relation fondamentale de la dynamique dans \(\mathcal{R'}\) non galiléen, on peut écrire le TMC dans ce même référentiel (d’origine O’) :

\begin{equation}\boxed{\left(\dfrac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{L_{O'}}(M)_{/\mathcal{R}'}}{\mathrm{d}t}\right)_{/\mathcal{R}'} = \,\overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\,\overrightarrow{F}) + \,\overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\,\overrightarrow{F_{ie}}) + \,\overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\,\overrightarrow{F_{ic}})}\end{equation}

Théorème de l’énergie cinétique en référentiel non galiléen

\begin{equation}\boxed{E_C(B)_{/\mathcal{R}'}-E_C(A)_{/\mathcal{R}'}=W_{AB}(\,\overrightarrow{F})_{/\mathcal{R}'}+W_{AB}(\,\overrightarrow{F_{ie}})_{/\mathcal{R}'}}\end{equation}

En effet, la force de Coriolis ne travaille pas :
\(\,\overrightarrow{F_{ic}}=2\,\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \,\overrightarrow{v}_{/\mathcal{R}'}\) donc la puissance de cette force \(P=\,\overrightarrow{F_{ic}} \cdot \,\overrightarrow{v}_{/\mathcal{R}'}=0\) car \(\,\overrightarrow{F_{ic}} \perp \,\overrightarrow{v}_{/\mathcal{R}'}\).
Et le travail élémentaire de cette force est \(\delta W = P\,\mathrm{d}t = 0\) d’où \(W_{AB}(\,\overrightarrow{F_{ic}})=0\).

Derniers ajouts

Physique à l'ENSCR

physique àl'ENSCR

Retrouver, entre autres, des contenus de travaux pratiques, produits par l'équipe de physique de l'ENSCR


\cdot \,\overrightarrow{v}_{/\mathcal{R}'}=0\) car \(\,\overrightarrow{F_{ic}} \perp \,\overrightarrow{v}_{/\mathcal{R}'}\).
Et le travail élémentaire de cette force est \(\delta W = P\,\mathrm{d}t = 0\) d’où \(W_{AB}(\,\overrightarrow{F_{ic}})=0\).

Documents de référence

Derniers ajouts

Liens

Physique à l'ENSCR

physique àl'ENSCR

Retrouver, entre autres, des contenus de travaux pratiques, produits par l'équipe de physique de l'ENSCR