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EM2 : Potentiel et nergie
Ce chapitre est disponible intgralement en vidos. La playlist ddie est disponible ici :
Vous pouvez galement visionner une vido particulire :
- Circulation et dfinition du potentiel
- Exemples de potentiels, surface quipotentielles et proprits
- Energies potentielles
Introduction
Nous allons dfinir dans ce chapitre une grandeur scalaire intimement li au champ lectrostatique : le potentiel lectrostatique. Cette grandeur permet de caractriser le champ lectrostatique et est parfois plus simple exploiter. De plus, ce potentiel sera reli, par lintermdiaire du travail de la force de Coulomb, lnergie potentielle lectrostatique ce qui lui donnera toute sa signification physique.
Circulation du champ lectrostatique
Dfinition
On appelle circulation du champ lectrostatique $\overrightarrow{E}$ entre A et B la grandeur :
Conservation de la circulation du champ lectrostatique
La grandeur dfinie prcdemment ne dpend que des positions des points A et B, la circulation du champ $\overrightarrow{E}$ est donc indpendante du chemin suivi :
On dit que la circulation du champ $\overrightarrow{E}$ est conservative.
Ceci implique que :
\begin{equation}\boxed{\oint \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = 0}\end{equation}La circulation du champ $\overrightarrow{E}$ le long dune courbe ferme est nulle, on dit qu'elle est conservative.
Potentiel lectrostatique
Dfinition
Vue que la circulation du champ $\overrightarrow{E}$ ne dpend pas du chemin suivi, on peut dfinir une grandeur scalaire V telle que :
\begin{equation}\boxed{\int_A^B \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = V(A) - V(B)} \end{equation}Cette grandeur V est appele potentiel lectrique et sexprime en Volt.
Proprits
Lquation \eqref{potentiel} de dfinition du potentiel lectrique faisant intervenir une intgrale, le potentiel lectrique est dfini une constante prs (constante dintgration).
On fixera arbitrairement lorigine des potentiels (cela ne modifiera en rien le champ lectrostatique).
Puisque le champ lectrostatique vrifie le principe de superposition, le potentiel lectrostatique est additif : le potentiel cr par la runion de deux systmes de charges est la somme des potentiels crs par chaque systme.
Remarques
La diffrence de potentiel nest autre que la tension que lon connat en lectricit.
Pour fixer les ides sur la circulation du champ lectrique qui donne naissance au potentiel, on peut faire une analogie avec la mcanique :
Si on considre que le champ lectrique est analogue une force conservative comme le poids $\overrightarrow{P}$, la circulation de $\overrightarrow{E}$ est analogue au travail de la force $\overrightarrow{P}$. Le travail du poids est gal la diffrence dnergie potentielle comme la circulation de $\overrightarrow{E}$ est gale la diffrence de potentiel lectrique.
Exemples de potentiel lectrostatique
Calcul du potentiel cr par une charge ponctuelle partir du champ lectrostatique
Le champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle a t dfini dans le chapitre EM11 :
\begin{align*} \overrightarrow{E} &= \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}PM^{2}} \frac{\overrightarrow{PM}}{PM}\\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \overrightarrow{u}_r \end{align*}
si on se place en coordonnes sphriques.
Calculons la circulation de ce champ entre deux points A et B quelconques :
\begin{align*} \int_A^B \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} &= \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \int_A^B \frac{\overrightarrow{u}_r}{{r^2}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \int_A^B \frac{\mathrm{d}r}{{r^2}}\end{align*}
car llment infinitsimal de longueur en coordonnes sphriques scrit
\begin{equation}\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}= \mathrm{d}r\,\overrightarrow{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\overrightarrow{u}_\theta + r\,\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\overrightarrow{u}_\varphi\end{equation} et donc \begin{equation} \overrightarrow{u}_r\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \mathrm{d}r\end{equation}
Finalement :
\begin{align*} \int_A^B \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = V(A)-V(B) &= \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \left[\frac{-1}{r}\right]_A^B \\ & = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \left(\frac{-1}{r_B}+\frac{1}{r_A} \right) \end{align*}
On peut donc crire que le potentiel en un point M est :
\begin{equation}V(M) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}\,r_M}+\mathrm{cste} \end{equation}o la constante est choisie en fonction de lorigine des potentiels : si on considre que le potentiel est nul linfini, la constante est nulle.
Gnralisation aux distributions de charges classiques
A partir de lexpression prcdente \eqref{potentiel-charge-ponctuelle}, on peut donner les expressions des potentiels lectriques crs en M par dautres distributions classiques :
Pour une distribution de N charges ponctuelles places en P_i$ :
\begin{equation}V(M) = \sum_{i=1}^{N}\dfrac{q_i}{4\pi\epsilon_0P_iM} \nonumber\end{equation}Pour une distribution linique de charges : \begin{equation}V(M) =\int_{P \in L} \dfrac{\lambda \mathrm{d}\ell}{4\pi\epsilon_0PM}\end{equation}
Pour une distribution surfacique de charges : \begin{equation}V(M) =\iint_{P \in S} \dfrac{\sigma \mathrm{d}S}{4\pi\epsilon_0PM}\end{equation}
Pour une distribution volumique de charges : \begin{equation}V(M) =\iiint_{P \in V} \dfrac{\rho \mathrm{d}\tau}{4\pi\epsilon_0PM}\end{equation}
Remarques
on a not ici le volume lmentaire $\mathrm{d}\tau$ pour viter de le confondre avec le potentiel lmentaire dV.
Ces expressions ne sont a priori valables que dans le cas de distribution finie, le potentiel tant pris nul linfini
Dfinition et continuit du potentiel lectrique
Comme nous lavons dit pour le champ lectrostatique, les intgrales crites pour dfinir le potentiel impliquent certaines contraintes en terme de dfinition et de continuit du potentiel. Sans dtailler cela, il ne faut pas loublier.
On retiendra que le potentiel est continu pour un volume charg ou une surface charge mais prsente des discontinuits pour un fil charg : en effet, le champ n'est pas dfini sur le fil lui-mme.
Le champ lectrostatique est un champ de gradient
Dfinition mathmatique
Un champ de vecteurs $\overrightarrow{X}$ est appel champ de gradient quand il existe une fonction $f$ telle quen tout point, $\overrightarrow{X}$ est le gradient de $f$. On dit encore que $\overrightarrow{X}$ drive du potentiel $f$.
Cas du champ lectrostatique
Le champ lectrostatique est un champ de gradient :
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{E} = - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V} \end{equation}avec \begin{equation}\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V = \overrightarrow{\nabla}V = \dfrac{\partial{V}}{\partial{x}}\overrightarrow{u}_x + \dfrac{\partial{V}}{\partial{y}}\overrightarrow{u}_y + \dfrac{\partial{V}}{\partial{z}}\overrightarrow{u}_z\end{equation} en coordonnes cartsiennes
Ainsi :
On dit que le champ $\overrightarrow{E}$ drive du potentiel V.
Le signe $-$ est arbitraire (ce choix se justifiera quand nous aborderons lnergie), il signifie $\overrightarrow{E}$ est dirig vers les potentiels dcroissants (voir proprit 2 des surfaces quipotentielles et sa dmonstration).
Remarque
Lquation \eqref{gradV} et lquation \eqref{potentiel} peuvent tre toutes les deux utilises pour dfinir le potentiel lectrique.
Surfaces quipotentielles
Dfinition
Une surface quipotentielle est dfinie par lensemble des points o la valeur du potentiel lectrique est la mme. Deux surfaces quipotentielles, dfinies par V(M) = V_0$ et V(M) = V_0$, ne peuvent donc pas se rencontrer. Grce celles-ci, on visualise encore mieux (en plus des lignes de champ) les proprits lectriques dun systme de charges.
Lignes de champ et surfaces quipotentielles
Proprits
Les surfaces quipotentielles sont en tous points orthogonales aux lignes de champ.
Le long dune ligne de champ, le champ $\overrightarrow{E}$ est dirig suivant les potentiels dcroissants.
Dmonstrations
Soit $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}$ un dplacement lmentaire le long dune surface quipotentielle.
\begin{equation}\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \mathrm{d}x\,\overrightarrow{u}_x+\mathrm{d}y\,\overrightarrow{u}_y+\mathrm{d}z\,\overrightarrow{u}_z\end{equation}
En coordonnes cartsiennes :Dautre part, on sait que $\overrightarrow{E}$ est un champ de gradient :
\begin{equation}\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V =\left(-\dfrac{\partial{V}}{\partial{x}}\overrightarrow{u}_x\right) + \left(-\dfrac{\partial{V}}{\partial{y}}\overrightarrow{u}_y\right) + \left(-\dfrac{\partial{V}}{\partial{z}}\overrightarrow{u}_z\right)\end{equation}Ainsi :
\begin{equation}\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \left(-\dfrac{\partial{V}}{\partial{x}}\mathrm{d}x\right) + \left(-\dfrac{\partial{V}}{\partial{y}}\mathrm{d}y\right) + \left(-\dfrac{\partial{V}}{\partial{z}}\mathrm{d}z\right)=-\mathrm{d}V \end{equation}Or par dfinition, sur une quipotentielle le potentiel est constant : \begin{equation}\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=0\end{equation} CQFD
Si on considre prsent un dplacement $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}$ le long dune ligne de champ et que lon se dplace dans le sens du champ de A B, on a :
\begin{equation}\int_A^B \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = V(A) - V(B) > 0\quad \text{ donc } V(A) > V(B)\quad \text{ CQFD}\end{equation}
nergie potentielle lectrostatique
Utilisons la relation entre le travail et lnergie que nous connaissons bien en mcanique. On se place dans le cas dune charge lectrique ponctuelle qui se dplace dans un champ extrieur (cr par dautres charges qui ne nous intressent pas).
Travail de la force lectrique de Coulomb
Or, nous avons vu dans lquation \eqref{e.dl=-dv} : \begin{equation}\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=-\mathrm{d}V\end{equation} donc :
\begin{equation}\mathrm{d}W_{AB} = - q\,\mathrm{d}V\end{equation}En intgrant entre A et B pour calculer le travail sur tout le dplacement AB :
\begin{equation}W_{AB}=\int_A^B -q\,\mathrm{d}V = -q \int_A^B \mathrm{d}V = q\,(V(A)-V(B)) =E_{PA} - E_{PB} \end{equation}Ainsi, le travail de la force de Coulomb ne dpend pas du chemin suivi, la force de Coulomb est conservative.
Cette force drive dune nergie potentielle :
On retrouve la façon dont on a définit l’énergie potentielle en mécanique.
D’autre part, le potentiel électrique étant défini à une constante près, l’énergie potentielle ne peut qu’être définie de la même manière.
D’autres méthodes pour retrouver cette énergie
Sans parler de travail, on a vu dans l’équation \eqref{potentiel} :
\begin{equation}\int_A^B \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = V(A) - V(B) \nonumber\end{equation}d’où
\begin{equation}\int_A^B q\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = qV(A) - qV(B) = E_{PA} - E_{PB}\end{equation}et on retrouve notre énergie.
On a également vu dans l’équation \eqref{gradV} :
\begin{equation}\overrightarrow{E} = - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V \nonumber\end{equation}donc
\begin{equation}\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,q\,V = - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,E_P\end{equation}La force de Coulomb dérive bien d’une énergie potentielle comme le champ électrique dérive d’un potentiel.
Énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponctuelles
Définition
L’énergie potentielle d’interaction est l’énergie qu’il faut fournir à un système de deux charges ponctuelles situées initialement à l’infini pour les rapprocher à une distance r_12$ l’une de l’autre.
Énergie potentielle de chaque charge
Soient les charges $q_1$ et $q_2$ placées en deux points $\mathrm{M}_1$ et $\mathrm{M}_2$ distants de $r_{12}$. La charge $q_1$ est soumise au champ $\overrightarrow{E_2}$ créé par $q_2$.
Elle possède donc une énergie potentielle électrostatique $E_{P1} = q_1\,V_2$ ($V_2$ car elle subit le champ $\overrightarrow{E_{2}}$). Ainsi :
Et avec le même raisonnement pour la charge $q_2$ :
\begin{equation}E_{P2} = E_{P1} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r_{12}} + \mathrm{\mathrm{cste}}\end{equation}Remarque : on peut annuler les constantes ici en supposant que si les charges sont infiniment éloignées l’une de l’autre, elles n’ont aucune influence l’une sur l’autre et elles ne possèdent pas d’énergie potentielle.
Travail et énergie potentielle d’interaction
Pour rapprocher les deux charges depuis l’infini, il faut qu’un opérateur effectue le travail nécessaire à ce rapprochement. L’énergie potentielle d’interaction est égale au travail de cet opérateur.
Pour atteindre le but recherché, celui-ci peut simplement rapprocher une des charges depuis l’infini vers l’autre qui serait fixe à un certain endroit.
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à la charge que l’opérateur déplace :
\begin{equation}\Delta E_C = \sum W(\overrightarrow{F_{ext}})\end{equation}Or la charge n’est pas en mouvement ni dans sa position de départ, ni dans sa position d’arrivée :
\begin{equation}0 = W_{\mathrm{opérateur}} + W_{\mathrm{force de coulomb}} donc W_{\mathrm{opérateur}} = − W_{\mathrm{force de coulomb}}\end{equation}Le travail de la force de Coulomb a été calculé dans l’équation \eqref{travail-coulomb} :
\begin{equation} W_{AB} = E_{PA} − E_{PB} = qV(A) − qV(B)\end{equation}Sachant que le point A est l’infini, $V(A) = E_{PA} = 0$, on obtient :
\begin{equation}W_{\mathrm{opérateur}} = - W_{\mathrm{force\, de\, coulomb}} = E_{PB} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r_{12}}\end{equation}L’énergie potentielle d’interaction entre deux charges a pour expression :
\begin{equation}\boxed{E_P = E_{P1} = E_{P2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r_{12}}}\end{equation}Références
- "Electromagnétisme PCSI" - P.Krempf - Editions Bréal 2003 ;
- "Physique Cours compagnon PCSI" - T.Cousin / H.Perodeau - Editions Dunod 2009 ;
- "Electromagnétisme 1ère année MPSI-PCSI-PTSI" - JM.Brébec - Editions Hachette ;
- "Cours de physique, électromagnétisme, 1.Electrostatique et magnétostatique" - D.Cordier - Editions Dunod ;
- Site de Jimmy Roussel
