EM2 : potentiel et énergie
L’essentiel
Relation entre la circulation du champ électrostatique et le potentiel électrostatique
\begin{equation}\boxed{C_{AB} = \int_A^B \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell} =\int_A^B -\mathrm{d}V = V(A) - V(B)}\end{equation}Relation entre le champ électrostatique et le potentiel électrostatique
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{E}= -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V}\end{equation}avec \(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V = \overrightarrow{\nabla}V = \dfrac{\partial{V}}{\partial{x}}\overrightarrow{u}_x + \dfrac{\partial{V}}{\partial{y}}\overrightarrow{u}_y + \dfrac{\partial{V}}{\partial{z}}\overrightarrow{u}_z\) en coordonnées cartésiennes.
Expression du potentiel électrostatique dans quelques cas
Cas d’une charge ponctuelle
\begin{equation}\boxed{V(M) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}\,r_M}+\mathrm{cste}}\end{equation}Le potentiel électrostatique est défini à une constant près (car la définition du potentiel fait intervenir une intégrale). Si on choisit la référence des potentiels à l’infini (\(V=0\) si \(r \rightarrow \infty\)) alors la constante est nulle.
Cas d’un ensemble de charges ponctuelles
\begin{equation}\boxed{V(M) = \sum_{i=1}^{N}\dfrac{q_i}{4\pi\epsilon_0P_iM}} \nonumber\end{equation}Cas d’une distribution linéique de charges
\begin{equation}\boxed{V(M) =\int_{P \in L} \dfrac{\lambda \mathrm{d}\ell}{4\pi\epsilon_0PM}}\end{equation}Cas d’une distribution surfacique de charges
\begin{equation}\boxed{V(M) =\iint_{P \in S} \dfrac{\sigma \mathrm{d}S}{4\pi\epsilon_0PM}}\end{equation}Cas d’une distribution volumique de charges
\begin{equation}\boxed{V(M) =\iiint_{P \in \tau} \dfrac{\rho \mathrm{d}\tau}{4\pi\epsilon_0PM}}\end{equation}Surfaces équipotentielles
Comme leur nom l’indique ce sont les surfaces sur lesquelles le potentiel électrostatique est une constante.
Les surfaces équipotentielles sont en tout point perpendiculaires aux lignes de champ.
Énergie potentielle électrostatique
\begin{equation}\boxed{Ep(M) = qV(M) + \mathrm{cste}} \qquad \boxed{\overrightarrow{F} = - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,E_P}\end{equation}où \(\overrightarrow{F}\) est la force électrique de Coulomb.
