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MS2 : pratiques de la démarche scientifique
L'essentiel

Dimensions et unités de base du système international
Grandeur/dimension Unité SI
Longueur (L) mètre (m)
Masse (M) kilogramme (kg)
Temps (T) seconde (s)
Intensité du courant (I) ampère (A)
Température (\(\theta)\) kelvin (K)
Quantité de matière (N) mole (mol)
Intensité lumineuse (J) candela (cd)
Trouver la dimension d’une grandeur qui n’est pas "de base"

On cherche une formule de la physique qui relie cette grandeur à des grandeurs de base.

Exemple
Pour obtenir la dimension d’une force qui s’exprime en Newton (N), on utilise le principe fondamental de la dynamique:

\begin{equation*}\overrightarrow{F} = m\,\overrightarrow{a} \Longrightarrow \boxed{[F] = M.L.T^{-2}}\end{equation*}

Notion d’erreur et d’incertitude
Deux types d’incertitude

Ces deux types d’incertitudes conduisent à un écart-type noté \(\sigma\).

Incertitude de type B
Elargissement de l’incertitude

Le \(\sigma_B\) obtenu précédemment défini un intervalle dans lequel doit se situer l’ensemble des valeurs mesurées pour une expérience. En considérant un intervalle de \(\pm\) un écart-type, on a 68% de chance qu’une valeur mesurée soit compris dans cette intervalle.

Ce niveau de confiance n’étant pas suffisant, on l’élargit à 95%: l’intervalle sera alors de \(\pm\) deux écarts-types.

On définit l’incertitude élargie par :

\begin{equation*}\boxed{\Delta = 2\,\sigma}\end{equation*}

Incertitude de type A

On ne fait pas souvent 100 mesures identiques, on utilisera donc la méthode de Student qui coefficiente le résultat de l’étude statistique en fonction du petit nombre de mesures.

L’étude statistique consiste à calculer :

\begin{equation*}\boxed{\sigma_A = t \times \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}} \qquad \text{où} \qquad \boxed{\sigma_{n-1} = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}{n-1}}}\end{equation*}

Avec les coefficients de Student \(t\) donnés pour un niveau de confiance donné:

Nombres de mesures \(n\) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Coefficient \(t\) (68%) 1,84 1,32 1,20 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06
Coefficient \(t\) (95%) 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26
Propagation des incertitudes

Si une grandeur \(x\) est calculée à partir de deux grandeurs mesurables \(p_1\) et \(p_2\), alors:

\begin{equation*}x = p_1^a\,p_2^b \Longrightarrow \boxed{\dfrac{\sigma_x}{x} = \sqrt{\left(\dfrac{a\,\sigma_{p_1}}{p_1}\right)^2+\left(\dfrac{b\,\sigma_{p_2}}{p_2}\right)^2}}\end{equation*}

Remarque
Cette formule peut être utilisée lorsqu’il n’y a qu’un paramètre, comme lorsqu’il y en a plus de deux.

Ecriture du résultat d’une mesure

\begin{equation*}\boxed{\text{valeur mesurée} = (x \pm \Delta x) \times 10^n \quad \text{unité}}\end{equation*}

L’incertitude sera donnée avec un seul chiffre significatif, la valeur mesurée sera accordée avec ce chiffre.

Etude d’un système mécanique

Il faut être capable:

Critique d’une formule: utilisation de l’analyse dimensionnelle

Une formule de physique doit être homogène: les grandeurs situées de chaque côté du signe égal doivent avoir la même dimension: une analyse dimensionnelle permet de vérifier cela.

Confrontation d’une mesure avec un valeur tabulée

Le résultat d’une mesure et l’incertitude (\(\Delta_m\)) à 95% correspondant au niveau de confiance choisi définissent un intervalle:

\begin{equation*}\boxed{ \text{valeur mesurée} - \Delta_m < \text{valeur mesurée} < \text{valeur mesurée} + \Delta_m }\end{equation*}

Si la valeur tabulée appartient à cet intervalle, la mesure est validée; sinon, une erreur systématique s’est glissée dans le protocole de mesure.

Vérification d’une loi

Pour vérifier une loi à partir de mesures, le plus simple est de la linéariser: c’est à dire faire en sorte qu’en traçant une grandeur mesurée en fonction d’une autre on obtienne une fonction affine ou linéaire.

L’utilisation d’un logiciel qui permet d’afficher les ellipses d’incertitude est alors conseillée: les points de mesures sont entourées d’ellipses dont les demis-axes sont définis par les incertitudes sur les grandeurs en abscisse et en ordonnée.

Un logiciel de ce type offre un outil de modélisation: il cherche la droite d’équation \(y=ax\) ou \(y =a\,x+b\) qui s’adapte le mieux au point de mesures, aux incertitudes près. Alors:

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