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Cours de physique-chimie tous niveaux

Vous êtes sur la page : Licence 1 > electrocinetique > Résumé de cours : EC4 : régime sinusoïdal


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EC4 : régime sinusoïdal
L'essentiel

Forme graphique et mathématiques d’une grandeur sinusoïdale

\begin{equation}\boxed{x(t)=X_m\cos (\omega t + \phi)}\end{equation}

où \(X_m\) est l’amplitude, \(\omega\) la pulsation et \(\phi\) la phase à l’orgine de la grandeur.

image

Relations entre la pulsation, la période et la fréquence

\begin{equation}\boxed{\omega = \frac{2\pi}{T}} \hspace{2cm} \boxed{\omega=2\pi f} \hspace{2cm} \boxed{f=\frac{1}{T}}\end{equation}

Déphasage entre deux signaux

On considère toujours le déphasage entre deux signaux synchrones, c’est à dire de même fréquence.

Ce déphasage varie entre \(0\) et \(\pi\) et peut être positif ou négatif.

Si on considère par exemple le déphasage de \(V_S\) par rapport à \(V_E\) :

  • Le déphasage est positif si \(V_S\) est en avance par rapport à \(V_E\) (sur un oscillogramme \(V=f(t)\), le tracé représentant \(V_S\) commence celui avant \(V_E\));
  • Le déphasage est négatif si \(V_S\) est en avance par rapport à \(V_E\).

Forme complexe d’un signal sinuoïdal

Soit un signal sinusoïdal d’expression mathématique \(x(t)=X_m\cos (\omega t + \phi)\), on lui associe une grandeur complexe :

\begin{equation}\boxed{\underline{x}(t) = X_m e^{j(\omega t + \phi)} = X_m e^{j\omega t} e^{j\phi}}\end{equation}

On définira également une amplitude complexe :

\begin{equation}\boxed{\underline{X}=X_m e^{j\phi}} \hspace{0.5cm} \text{donc} \hspace{0.5cm} \boxed{\underline{x}(t) = \underline{X}e^{j\omega t}}\end{equation}

Lien entre grandeur complexe et grandeurs réelles

Pour retourner au signal réel complet :

\begin{equation}\boxed{x(t) = Re(\underline{x}(t))}\end{equation}

Retour à l’amplitude du signal réel :

\begin{equation}\boxed{X_m = |\underline{X}| = |\underline{x}(t)|}\end{equation}

Retour à la phase initiale :

\begin{equation}\boxed{\phi = Arg(\underline{X})}\end{equation}

Représentation de Fresnel

image

Dérivation de signaux complexes

\begin{equation}\boxed{\dfrac{d\underline{x}(t)}{dt}=j\omega \underline{x}(t)}\end{equation}

Intégration de signaux complexes

\begin{equation}\boxed{\int \underline{x}(t) = \dfrac{1}{j\omega} \underline{x}(t) }\end{equation}

Notation complexe et régime forcé : étude du dipôle RC

On cherche \(u(t)\) aux bornes du condensateur.On peut écrire la loi des mailles en notation complexe :

\begin{equation}\boxed{\underline{u}(t) + R\,\underline{i}(t) = E e^{j(\omega t)}}\end{equation}

Or \(i(t) = C\dfrac{du(t)}{dt}\) donc \(\underline{i}(t) = C\dfrac{d\underline{u}(t)}{dt} = jC\omega \underline{u}(t)\) (la relation entre \(\underline{i}(t)\) et \(\underline{u}(t)\) est linéaire).

Elle devient simplement :

\begin{equation}\boxed{\underline{u}(t) = \dfrac{E e^{j(\omega t)}}{1+jRC\omega}}\end{equation}

Intérêt des complexes : il n’y a plus d’équation différentielle à résoudre.

On obtient l’amplitude de \(u(t)\) en calculant le module de \(\underline{U}\) :

\begin{equation}\boxed{U = |\underline{U}|=\dfrac{E}{\sqrt{1+\tau^2\omega^2}}}\end{equation}

Et la phase à l’origine de \(u(t)\) en prenant l’argument \(\underline{U}\) :Attention, pour obtenir cette phase, il faut calculer la tangente et connaître le signe du cosinus.On obtient :

\begin{equation}\boxed{\tan \phi = - \tau\omega}\end{equation}

et

\begin{equation}\boxed{\cos \phi = \dfrac{\dfrac{E}{1+(\tau\omega)^2}}{|\underline{U}|} > 0}\end{equation}

Donc on peut écrire :

\begin{equation}\boxed{\phi = \arctan(-\tau\omega)}\end{equation}

Finalement :

\begin{equation}\boxed{u(t) = \dfrac{E}{\sqrt{1+R^2C^2\omega^2}} \cos(\omega t - \arctan (\tau\omega))}\end{equation}

Impédance et Admittance complexe

Impédance complexe :

\begin{equation}\boxed{\underline{Z} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{i}}}\end{equation}

Admittance complexe :

\begin{equation}\boxed{\underline{Y} =\dfrac{1}{\underline{Z}} = \dfrac{\underline{i}}{\underline{u}}}\end{equation}

Impédance des dipôles linéaires

Résistance :

\begin{equation}\boxed{\underline{Z} = R}\end{equation}

Condensateur :

\begin{equation}\boxed{\underline{Z} = \dfrac{1}{jC\omega}}\end{equation}

Le condensateur se comporte en basses fréquences comme un interrupteur ouvert, en hautes fréquences comme un interrupteur fermé. Bobine :

\begin{equation}\boxed{\underline{Z} = jL\omega}\end{equation}

La bobine se comporte en basses fréquences comme un interrupteur fermé, en hautes fréquences comme un interrupteur ouvert.

Loi d’ohm en notation complexe

\begin{equation}\boxed{\underline{u}=\underline{Z}\times\underline{i}}\end{equation}

Impédance complexe et grandeurs réelles

  • Le module de l’impédance complexe donne le rapport de l’amplitude de la tension par l’amplitude de l’intensité ;
  • L’argument de l’impédance complexe donne le déphasage (avance de phase) entre la tension u(t) et l’intensité i(t).

Condensateur, bobine et déphasage

  • Une bobine introduit un déphasage de \(\pi/2\) entre la tension et l’intensité ;
  • Un condensateur introduit un déphasage de \(-\pi/2\) entre la tension et l’intensité.

Lois en notation complexe

Les lois vues dans le chapitre EC1 sont valables pour les grandeurs complexes : association d’impédances, loi des noeuds, loi des mailles, ponts diviseurs, ...

Valeur efficace d’un signal

Pour un signal quelconque :

\begin{equation}X_\mathrm{eff}^2 = <x(t)^2> = \dfrac{1}{T}\int_0^T x^2(t) dt\end{equation}

Dans le cas d’une grandeur sinusoïdale :

\begin{equation}\boxed{X_{\mathrm{eff}}=\frac{X_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}\end{equation}

Puissance instantanée

La formule générale est :

\begin{equation}\boxed{p(t)=u(t)\times i(t)}\end{equation}

Si \(u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi)\) et \(i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi')\) :

\begin{equation}p(t) = \dfrac{U_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2}\left(\cos(2\omega t + \phi + \phi')+\cos(\phi-\phi')\right)\end{equation}

Puissance moyenne

\begin{equation}P = \dfrac{1}{T}\int_0^T p(t) dt\end{equation}

\begin{equation}\boxed{P = \dfrac{U_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2} \cos \Delta\phi = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}} \cos \Delta\phi}\end{equation}

Le terme \(\cos \Delta\phi\) est appelé facteur de puissance.