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Cours de physique-chimie tous niveaux

Vous êtes sur la page : Licence 1 > Mécanique 2 > Résumé de cours sur le théorème du moment cinétique


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M21 : théorème du moment cinétique
L'essentiel

Moment cinétique d’un point M par rapport à un point O

\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{L_O}(M) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p} = \overrightarrow{OM} \wedge m\,\overrightarrow{v}}\end{equation*}

En norme : \(L_O(M) =OM \times m\,v \times \sin \alpha\) si \(\alpha\) représente l’angle que forme le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) et le vecteur \(\overrightarrow{v}\).

Sens : le sens du vecteur moment cinétique est donné par la règle de la main droite, la base \(\left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{L_O}(M)\right)\) est directe.

Moment cinétique en O’ différent de O

\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{L_{O'}}(M) = \overrightarrow{L_O}(M) + \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{p}}\end{equation*}

Moment cinétique par rapport à un axe \(\Delta\)

\begin{equation*}\boxed{L_{\Delta} = \overrightarrow{L_O}(M) \centerdot \overrightarrow{u_{\Delta}}}\end{equation*}

avec \(\overrightarrow{u_\Delta}\) le vecteur unitaire donnant le sens et la direction de l’axe et O un point de l’axe.

\(L_{\Delta}\) est donc la projection du moment cinétique par rapport à un point de l’axe sur cet axe.

Moment d’une force \(\overrightarrow{F}\) par rapport à un point

\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F}}\end{equation*}

En norme : \(\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = \left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|\times \sin \theta\) si \(\theta\) représente l’angle que forme les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{F}\).

Sens : Le sens du vecteur moment est donné par la règle de la main droite.

Notion de bras de levier

5 Le bras de levier est la distance \(d=OH\), où H est le projeté orthogonal de O sur la droite d’action de la force \(\overrightarrow{F}\).

La norme du vecteur moment peu ainsi s’écrire :

\begin{equation*}\boxed{\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = d \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|}\end{equation*}

image

Notion de bras de levier

La norme du moment ne dépend que du bras de levier.



Moment de force en O’ différent de O

\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) + \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{F}}\end{equation*}

Moment de force par rapport à un axe

\begin{equation*}\boxed{\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) \centerdot \overrightarrow{u_{\Delta}}}\end{equation*}

Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe

\begin{equation*}\boxed{\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} = \sum_i \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F_i})}\end{equation*}

Théorème du moment cinétique par rapport à un axe

\begin{equation*}\boxed{\dfrac{\mathrm{d}L_{\Delta}}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F_i})}\end{equation*}