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Cours de physique-chimie tous niveaux

Vous êtes sur la page : Licence 1 > Mécanique 2 > Résumé de cours sur les changements de référentiel et les référentiels non galiléen


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M23 : changement de référentiel,
référentiels non galiléens
L'essentiel

Formule de Varignon

Elle permet de relier la variation dans le temps d’un vecteur dans un référentiel \(\mathcal{R}\) fixe avec celle de ce même vecteur dans un référentiel \(\mathcal{R'}\), en mouvement quelconque par rapport à \(\mathcal{R}\) :

\begin{equation}\boxed{\left(\dfrac{d\overrightarrow{U}}{dt}\right)_{/\mathcal{R}} = \left(\dfrac{d\overrightarrow{U}}{dt}\right)_{/\mathcal{R}'} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{U}} \nonumber\end{equation}

Loi de composition des vitesses

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{v}_{\text{absolue}} = \overrightarrow{v}_{\text{entrainement}} + \overrightarrow{v}_{\text{relative}}} \nonumber\end{equation}

Avec :

\begin{equation}\begin{aligned} \overrightarrow{v}_{\text{a}} &=\overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}}\nonumber \\ \overrightarrow{v}_{\text{e}}&=\overrightarrow{v}(O')_{/\mathcal{R}} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{O'M}\nonumber\\ \overrightarrow{v}_{\text{r}} &=\overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}'} \nonumber\end{aligned}\end{equation}

La vitesse d’entrainement est la vitesse qu’aurait M s’il était fixe dans le référentiel en mouvement.

Loi de composition des accélérations

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{a}_{\text{a}} = \overrightarrow{a}_{\text{r}} + \overrightarrow{a}_{\text{e}} + \overrightarrow{a}_{\text{c}}} \nonumber\end{equation}

Avec :

\begin{equation}\begin{aligned} \overrightarrow{a}_{\text{a}} &=\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}}\nonumber\\ \overrightarrow{a}_{\text{r}} &=\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'}\nonumber\\ \overrightarrow{a}_{\text{e}}&=\overrightarrow{a}(O')_{/\mathcal{R}} + \dfrac{d\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}}}{dt} \wedge \overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{O'M})\nonumber\\ \overrightarrow{a}_{\text{c}}&=2\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}'} \nonumber\end{aligned}\end{equation}

Attention, \(\overrightarrow{a}_{\text{e}} \neq \dfrac{d\overrightarrow{v}_{\text{e}}}{dt}\).

Cas d’un mouvement de translation

Comme \(\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} = \overrightarrow{0}\), alors :

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{v}_{\text{entrainement}} = \overrightarrow{v}(O')_{/\mathcal{R}} \quad ; \hspace{0.5cm} \overrightarrow{a}_{\text{entrainement}} = \overrightarrow{a}(O')_{/\mathcal{R}} \quad ; \hspace{0.5cm} \overrightarrow{a}_{\text{coriolis}} = \overrightarrow{0}} \nonumber\end{equation}

Cas d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe

Soit une rotation uniforme autour de l’axe Oz : \(\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} = \overset{\centerdot}{\theta}\overrightarrow{e_z}\).

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{v}_{\text{e}}=r\overset{\centerdot}{\theta}\overrightarrow{e_{y'}}} \nonumber \\\end{equation}

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{a}_{\text{e}} =- r\, \overset{\centerdot}{\theta}\,^2 \overrightarrow{e_{x'}}=-\overset{\centerdot}{\theta}\,^2 \overrightarrow{HM} } \nonumber\end{equation}

Si H est le projeté de M sur l’axe de rotation.

Référentiel galiléen ou non

Un référentiel est galiléen si la première loi de Newton y est vérifiée.
Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

Relation fondamentale de la dynamique en référentiel non galiléen

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_{ie}} + \overrightarrow{F_{ic}} = m\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'} \nonumber }\end{equation}

Avec :
\( \overrightarrow{F_{ie}} = -m\,\overrightarrow{a}_e\) une force virtuelle appelée force d’inertie d’entraînement ;
\( \overrightarrow{F_{ic}} = -m\,\overrightarrow{a}_c\) une force virtuelle appelée force d’inertie de Coriolis.

RFD dans le référentiel tournant d’une rotation uniforme

Il y a équilibre du point M dans ce référentiel, la relation entre la tension qui maintient le point M sur sa trajectoire est la force d’inertie d’entraînement est la suivante :

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F_{ie}}=-\overrightarrow{T}=m\overset{\centerdot}{\theta}\,^2\,\overrightarrow{HM}} \nonumber\end{equation}

Cette force d’inertie d’entrainement représente la force centrifuge ressentie par le point M lors de sa rotation.

Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen

\begin{equation}\boxed{\left(\dfrac{d\overrightarrow{L_{O'}}(M)_{/\mathcal{R}'}}{dt}\right)_{/\mathcal{R}'} = \overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F}) + \overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F_{ie}}) + \overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F_{ic}})} \nonumber\end{equation}

Théorème de l’énergie cinétique en référentiel non galiléen

\begin{equation}\boxed{E_C(B)_{/\mathcal{R}'}-E_C(A)_{/\mathcal{R}'}=W_{AB}(\overrightarrow{F})_{/\mathcal{R}'}+W_{AB}(\overrightarrow{F_{ie}})_{/\mathcal{R}'}} \nonumber\end{equation}

Car la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas.