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Seconde-Physique-chap 2 :
Mesures de longueurs à notre échelle

Précision d'une mesure et chiffres significatifs :

Dans tout ce paragraphe, il faudra compléter les textes.

Généralités :

• Lorsque l'on réalise une mesure, le résultat que l'on donne possède un certain nombre de chiffres.Ceux-ci s'appellent les chiffres significatifs (CS).
  
  Leur nombre dépend de l'instrument de mesure utilisé.

• Exemple :

  On mesure un volume avec une éprouvette graduée dont l'incertitude absolue est donnée : ΔV = 0.05 mL.
  
  Le résultat de la mesure donne V = 11.4 mL. Cette mesure comporte donc 3 chiffres significatifs.
  
  On peut aussi donner le résultat de la mesure de la façon suivante : V = 11.40 +/- 0.05 mL ce qui permet de donner un encadrement de la mesure :
  11.4 - 0.05 = 11.35 < V = 11.4 mL < 11.4 + 0.05 = 11.45
  
  

• Que pouvons-nous en déduire :

  Les chiffres significatifs de la mesure sont les chiffres certains (ceux dont on est sûr, ici les deux 1) et le premier chiffre incertain (ici le 4, car d'après l'encadrement, le chiffre des dixièmes de millilitre peut être 3 ou 4).

• Nous pouvons alors dire que :

  Plus le résultat d'une mesure comporte de chiffres significatifs, plus la mesure est précise (puisqu'il y a plus de chiffres certains).

Le cas des zéros :

Un zéro dans le résultat d'une mesure est-il significatif ?
On peut distinguer trois cas :

• Si le zéro est situé à droite du résultat de la mesure alors il est significatif car il donne une information de précision : 1.00 (3 CS) est plus précis que 1.0 (2 CS).
  
• Si le zéro est au milieu du résultat de la mesure alors il est également significatif, il fait partie intégrante du résultat : 1.0306 possède 5 CS.
  
• Si le zéro est à gauche alors il n'est pas significatif. En effet,
  0.012 = 1.2*10^-2 possède 2 CS uniquement.

Chiffres significatifs et résultat d'un calcul :

• Lorsqu'il s'agit d'une addition ou d'une soustraction, on donne le résultat du calcul avec autant de décimales que la mesure qui en a le moins :
  ex : 15.3 + 17.02 - 3.008 = 29.3 (une seule décimale car 15.3 en a qu'une).
  
• Quand il s'agit de multiplication ou de division, on donne le résultat du calcul avec autant de chiffres significatifs que la mesure qui en a le moins :
  ex : (123.40 * 1.23) / 12.03 = 12.6 (3 CS car 1.23 en possède trois).
  
• En effet, le résultat d'un calcul ne peut pas être plus précis que la mesure la moins précise.
  
• Donc lorsque l'on effectuera un calcul, on arrondira le résultat en fonction du nombre de chiffres significatifs à garder.

Quelques applications :

Donnez le nombre de chiffres significatifs des valeurs suivantes :

• 0.0817 : 3 CS
• 3.40*10² : 3 CS
• 0.00809 : = 8.09*10^-3 : 3 CS
• 3.040*10^-6 : 4 CS
• 17.400 : 5 CS

Effectuez les calculs ci-dessous et donnez le résultat avec le nombre de chiffres significatifs qu'il convient :

• (3.62 * 2.04) / 5990 = 1.23*10^-3
• ((0.0426 + 0.305) * 1.5) / 2.35 = 2.2*10^-1
• 0.807 + (9.0 * 5.87) = 54

Instruments de mesure dérivés du mètre :

• Citez trois instruments permettant de mesurer des longueurs à notre échelle :

  On peut utiliser le décamètre, le double décimètre, le pied à coulisse (permet
  de mesurer jusqu'à 10^-4 m) et le palmer (permet de mesurer jusqu'à 10^-5 m, donc au centième de millimètres).

Méthode de la visée :

• Cette méthode utilise un théorème de mathématiques,
  lequel est-ce ?

  Il s'agit du théorème de Thalès.

• Exercice d'application :
  Adrien souhaite déterminer la hauteur de la Tour Eiffel à l'aide de son stylo.
  Pour cela, un oeil fermé, il cache la tour avec son stylo tenu verticalement, bras tendu.
  Son bras tendu mesure d = 38,0 cm.
  Le stylo, qui a une longueur A'B' égale à 14,0 cm, cache exactement la tour.
  Lors de la visée, Adrien se trouve à 869 m de la tour.
  
  • Schématisez la situation de visée qui permettra de reconnaître l'utilisation du théorème de mathématiques qui nous intéresse. Indiquez toutes les longueurs connues :
    

  • En utilisant le théorème de mathématiques cité plus haut, donnez l'expression littérale qui permettra de calculer la hauteur de la tour Eiffel ?
    

  • Réalisez le calcul et veillez à conserver le bon nombre de chiffres significatifs au résultat ?
    

Notion de diamètre apparent :

• On peut aussi mesurer une longueur à l'aide d'une mesure d'angle. Comment appelle-t-on l’angle sous lequel on voit un objet depuis un point donné ?

  Il s'agit du diamètre apparent. Son nom porte à confusion, il s'agit bien d'un angle et non d'une longueur.

• Exercice d'application :
  Soit AB un bâtiment, un observateur regarde celui-ci d'un point O.
  On sait que l'observateur se trouve à 25 m du bâtiment et il a mesuré le diamètre apparent de celui-ci : 20°
  • Schématisez la situation et notez à l'aide d'un arc de cercle le diamètre apparent α du bâtiment vu de O :
    

  • En utilisant des notions de trigonométrie (cosinus, sinus, tangente, ...) établissez l'expression littérale qui permet de calculer la hauteur du bâtiment :

    Comme l'angle BÂC est droit, on sait que
    tan α = côté opposé / côté adjacent = AB / AC.
    D'où AB = AC * tan α

  • Réalisez l'application numérique et donnez le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs :

    AB = AC * tan α = 25 * tan 20 = 9.1 m
    On donne le résultat avec deux chiffres significatifs car les données en possèdent deux.

Mesures de longueurs par mesures de durée : Principe du télémètre ou du sonar :

• Quel type de signal utilise-t-on dans ce type d'appareil ?

  On utilise un signal sonore ou plus précisément ultrasonore (fréquence supérieure aux fréquences audibles par l'oreille humaine).

• Imaginons quelqu'un qui utilise son télémètre pour mesurer la longueur d'une pièce.
  Où va-t-il placer son télémètre, vers quoi va-t-il l'orienter et qu'est-ce que mesure exactement le télémètre ?

  Il va placer le télémètre contre un mur de la pièce et va viser l'autre mur de façon perpendiculaire.
  En effet, comme le télémètre mesure le temps que va mettre le signal ultrasonore pour faire l'aller retour télémètre-mur-télémètre, la longueur sera correcte si le signal a un trajet rectiligne.

• On dispose donc d'un temps, on veut connaître une longueur. Que nous manque-t-il pour pouvoir calculer celle-ci ?

  Il nous manque une vitesse, et plus précisément la vitesse de propagation du signal ultrasonore dans l'air dans le cas d'un télémètre.

• Connaissant la vitesse du son dans l'air à 15°C v_son = 340 m/s et sachant que le temps mis par le signal pour faire l'aller-retour dans la pièce est t=0.024 s, quelle est la longueur de la pièce ?
  Etablissez l'expression littérale permettant de la calculer puis effectuez le calcul. Vous donnerez le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.

  On connaît la formule permettant de calculer une vitesse à partir d'un temps et d'une distance :

  

  Mais attention, lorsque le signal revient au télémètre, il a parcouru deux fois la longueur de la pièce donc d = 2*l.
  Comme on désire connaître l, on a :

  

  Le résultat comporte deux chiffres significatifs car la donnée la moins précise (qui comporte le moins de chiffres significatifs) est t avec deux chiffres significatifs.

• Quel instrument fonctionne de la même manière qu'un télémètre, mais utilise un signal laser lumineux plutôt qu'un signal ultrasonore ?

  Il s'agit du radar.