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Leçon de physique n°10 (agrégation) :
Modèle de l'écoulement parfait d'un fluide. Validité. Théorèmes de Bernoulli : limites et applications (PC).
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 5 pages).
Remarques du jury
Les leçons de mécanique des fluides sont souvent exposées de manière trop formelle et calculatoire : privilégier les interprétations physiques et décrire des exemples illustrés expérimentalement. Ne pas confondre écoulement parfait et fluide parfait ; interpréter la relation de Bernoulli comme une conservation de l'énergie.
Prérequis
Dérivée particulaire, outils de description d'un fluide.
Introduction
Après la description cinématique d'un écoulement, on s'intéresse aux forces extérieures et à leurs effets sur les caractéristiques de l'écoulement.
Écoulement parfait d'un fluide, couche limite
Équation du mouvement d'un fluide réel
Sur un volume \(d\tau\) : forces volumiques \(\rho\vec{f}_m\,d\tau\), forces de pression \(-p\,dS\,\vec{N}\) et forces de viscosité. Le PFD donne l'équation de Navier-Stokes : \(\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = \vec{f}_m - \dfrac{\vec{\nabla}p}{\rho} + \nu\Delta\vec{v}\) (terme de convection, terme de diffusion), avec la condition aux limites \(\vec{v}\cdot\vec{N} = 0\) sur un obstacle.
Modèle de l'écoulement parfait
- Nombre de Reynolds : \(Re = \dfrac{\text{convection}}{\text{diffusion}} = \dfrac{\rho L v}{\eta}\), \(L\) longueur caractéristique de l'écoulement.
- Expérience : en versant doucement l'eau d'un bécher dans un cristallisoir, lignes de courant nettes (régime laminaire) ; en versant rapidement, lignes qui s'enchevêtrent (régime turbulent). Transition pour un Reynolds critique, environ 2 000 pour un écoulement cylindrique.
- Écoulement parfait : tous les phénomènes diffusifs sont négligeables. C'est le cas en régime turbulent ; en régime laminaire, il suffit que \(\operatorname{div}\vec{v} = 0\) (fluide incompressible) et \(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{v} = \vec{0}\) (écoulement irrotationnel), conditions suffisantes mais non nécessaires.
Notion de couche limite
Autour d'un obstacle, au-delà d'une couche d'épaisseur \(\delta \propto 1/\sqrt{Re}\), l'écoulement est parfait. Un fluide parfait est non visqueux ; un écoulement parfait l'est au-delà de la couche limite.
Relations de Bernoulli
Équation d'Euler
En négligeant la viscosité, et avec \(\vec{\Omega} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{v}\) (vecteur tourbillon) : \(\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(\dfrac{v^2}{2}\right) + 2\vec{\Omega}\wedge\vec{v} = \vec{f}_m - \dfrac{\vec{\nabla}p}{\rho}\).
Relations de Bernoulli
- On multiplie par un élément \(d\vec{\ell}\) de ligne de courant, avec \(\vec{f}_m = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,e_{pm}\), pour un fluide incompressible ou barotrope (\(\rho = g(p)\)).
- Écoulement stationnaire : \(\dfrac{v^2}{2} + e_{pm} + \dfrac{p}{\rho}\) est constant le long d'une ligne de courant (fluide incompressible).
- Écoulement irrotationnel (\(\vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\phi\)) : \(\dfrac{\partial\phi}{\partial t} + \dfrac{v^2}{2} + e_{pm} + \dfrac{p}{\rho}\) est uniforme dans tout le fluide.
Condition approchée d'application
Pour un fluide compressible de compressibilité isentropique \(\chi_S\), \(\Delta\rho = \rho\chi_S\Delta p \approx \chi_S\rho^2\dfrac{v_{max}^2}{2}\) : le modèle incompressible est valable si \(\Delta\rho \ll \rho\), c'est-à-dire si \(v_{max}\) est petite devant la vitesse du son.
Aspect énergétique
\(\rho\dfrac{v^2}{2} + \rho g z + p = \text{cte}\) : énergie cinétique volumique, énergie potentielle volumique de pesanteur et énergie due aux forces pressantes. La relation de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie du fluide dans l'écoulement.
Applications
- Effet Venturi : mesures de vitesse, tenue de route des voitures, trompe à vide (utilisée en chimie), pulvérisateur de peinture.
- Effet Magnus : effet de l'air sur des balles ou ballons en rotation (coups francs brossés au football, lift au tennis).
Bibliographie
- H-Prépa, Mécanique des fluides, Hachette
- Pérez, Mécanique des fluides, Masson
- Mécanique des fluides et ondes mécaniques
