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Leçon de physique n°11 (agrégation) :
Notion de viscosité d'un fluide. Écoulements visqueux. Nombre de Reynolds. Exemples simples (PC).
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).
Introduction
La viscosité traduit macroscopiquement les forces de dissipation interne d'un fluide ; elle permet, via le nombre de Reynolds, de connaître l'allure de l'écoulement. Expérience : une plaque légère est entraînée par une soufflerie, car l'air « frotte » sur elle.
La viscosité
Définition
Pour un écoulement parallèle \(\vec{v} = v(z)\,\vec{e}_x\), les couches de fluide exercent entre elles des forces tangentielles \(F_x = -\eta S\dfrac{dv}{dz}\) : les veines rapides entraînent les veines lentes et inversement.
Unité
\(\eta\) s'exprime en poiseuilles (1 Pl = 1 Pa·s). Ordres de grandeur : air \(10^{-5}\), eau \(10^{-3}\), huile environ 1, graisse \(10^3\) Pl. Fluides mobiles (\(\eta < 10^{-3}\) Pl), visqueux, très visqueux (\(\eta > 1\) Pl).
Diffusion de la quantité de mouvement
Le PFD sur un élément de fluide donne \(\dfrac{\partial v}{\partial t} = \dfrac{\eta}{\rho}\dfrac{\partial^2 v}{\partial z^2}\) : équation de diffusion de la quantité de mouvement, de coefficient \(\nu = \eta/\rho\) (viscosité cinématique). Force volumique de viscosité : \(\vec{f} = \eta\,\Delta\vec{v}\).
Interprétation microscopique
Modèle cinétique (un sixième des molécules dans chaque direction, libre parcours moyen \(\ell\)) : le débit de quantité de mouvement à travers une surface donne \(\eta = \tfrac{1}{3} n u m \ell\), avec \(u = \sqrt{3RT/M}\) et \(\ell = 1/(n\sigma)\). On trouve \(\eta \approx 2\cdot10^{-5}\) Pl pour l'air.
Dynamique des fluides visqueux
Équation de Navier-Stokes
On ajoute la force de viscosité à l'équation d'Euler (fluide incompressible) : \(\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} - \dfrac{\eta}{\rho}\Delta\vec{v} = \vec{f}_m - \dfrac{\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,p}{\rho}\) (variation locale, convective, diffusive, termes moteurs).
Nombre de Reynolds
Rapport des termes convectif et diffusif : \(Re = \dfrac{\rho L v}{\eta}\), \(L\) dimension caractéristique de l'écoulement.
Différents régimes d'écoulement
- \(Re \ll 1\) (faibles vitesses, petits objets, liquides très visqueux) : écoulement laminaire.
- \(Re \gg 1\) : écoulement turbulent, la vitesse varie fortement d'un point à l'autre.
- Transition autour d'un Reynolds critique qui dépend du type d'écoulement. Deux écoulements de même Reynolds sont similaires (conduites de 1 m à 0,1 m/s et de 0,1 m à 1 m/s), ce qui permet les modélisations.
Notion de couche limite
Épaisseur, autour de l'obstacle, au-delà de laquelle l'écoulement peut être considéré comme parfait.
Traînée et portance
La force exercée par le fluide sur un obstacle a deux composantes : la portance, perpendiculaire à la vitesse, et la traînée, parallèle, \(\|\vec{T}\| = C_x(Re)\,\dfrac{\rho v^2}{2}S\).
Écoulements visqueux
Écoulement cylindrique de Poiseuille
- Écoulement stationnaire, laminaire, incompressible, à symétrie cylindrique : \(\vec{v} = v_z(r)\,\vec{e}_z\). Navier-Stokes donne \(-\dfrac{dp}{dz} = K = \eta\,\Delta v_z(r)\), avec \(K = \Delta p/L\).
- Profil parabolique : \(v_z(r) = \dfrac{K}{4\eta}(R^2 - r^2)\) ; débit \(D_v = \dfrac{K\pi d^4}{128\eta}\) : la mesure du débit donne la viscosité.
- Manipulation : écoulement d'eau d'un réservoir dans un tube fin ; on pèse l'eau recueillie en une minute, \(\eta = \dfrac{\pi d^4 \rho^2 g h t}{128 m L}\). Des tubes manométriques montrent la chute de pression due à la viscosité.
Viscosimètre à chute
Bille d'acier lâchée dans la glycérine : poids, poussée d'Archimède et force de Stokes \(-6\pi\eta r\vec{v}\). La bille atteint une vitesse limite, d'où \(\eta = \dfrac{2(\rho_a - \rho_\ell) r^2 g}{9 v_{lim}}\).
Conclusion
L'étude des fluides visqueux est importante pour les mouvements macroscopiques dans l'air, en automobile comme en aéronautique (coefficient \(C_x\)). Les alvéoles d'une balle de golf augmentent l'épaisseur de la couche limite et donc la portance (\(Re \approx 10^5\)).
Bibliographie
- Pérez, Mécanique : fondements et applications
- Faroux, Renault, Mécanique des fluides et ondes mécaniques
- H-Prépa, Mécanique des fluides
