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Leçon de physique n°12bis (agrégation) :
Équation de bilan en mécanique des fluides. Exemples et applications (PC ou 1er cycle), seconde version.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Seconde version de la leçon n°12. Les schémas sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Prérequis

Leçons précédentes de mécanique des fluides, principes de la thermodynamique, lois générales de la mécanique.

Introduction

En physique, on cherche à effectuer des bilans (de travail, de quantité de mouvement...). Pour les fluides, on peut raisonner sur une quantité déterminée de fluide ou sur un volume fixe de l'espace ; les lois fondamentales de la mécanique ne s'appliquent simplement qu'à un système de masse déterminée.

Généralités

Système ouvert et fermé

• Ouvert : échange énergie et matière ; ici délimité par une surface \(\Sigma\) fixe et indéformable (description d'Euler).
• Fermé : ensemble déterminé de particules mobiles dans le référentiel d'étude (description de Lagrange).

Théorème de transport de Reynolds

• Rappels : débits massique \(D_m = \iint\rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S}\) et volumique \(D_v = \iint\vec{v}\cdot d\vec{S}\).
• Position du problème : grandeur extensive \(dA = a\,dm = a\rho\,d\tau\), système fermé \(A_1B_1A_2B_2\) suivi pendant \(dt\).
• Écoulement stationnaire : seule compte la matière entrée et sortie, \(\dfrac{DA}{Dt} = a_2\rho_2 v_2 S_2 - a_1\rho_1 v_1 S_1 = (a_2 - a_1)D_m\).
• Écoulement non stationnaire : contribution supplémentaire \(\iiint\dfrac{\partial(a\rho)}{\partial t}\,d\tau\).
• Généralisation : \(\dfrac{DA}{Dt} = \iiint_{V_c}\dfrac{\partial(a\rho)}{\partial t}\,d\tau + \oint_{S_c} a\rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S}\).

Bilan de masse

Avec \(a = 1\) : \(\dfrac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0\).

Bilans mécaniques

Quantité de mouvement

• Bilan en écoulement stationnaire : \(\dfrac{D\vec{p}}{Dt} = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1)D_m\).
• Théorème de la résultante cinétique : \(\dfrac{D\vec{p}}{Dt} = \vec{F}_{pression} + \vec{F}_{volumiques}\) en référentiel galiléen (sinon, ajouter les forces d'inertie).
• Application : puissance récupérée par une hélice dans un tube de courant (fluide parfait incompressible, écoulement stationnaire et unidimensionnel, irrotationnel avant et après l'hélice). La résultante cinétique entre \(S_1\) et \(S_2\) puis entre A et B, et la relation de Bernoulli de part et d'autre, donnent \(v = \dfrac{v_1 + v_2}{2}\) et \(f = 2\rho S v(v_1 - v)\).
• Puissance \(\mathcal{P} = 2\rho S v^2 (v_1 - v)\), maximale pour \(v = \tfrac{2}{3}v_1\) : \(\mathcal{P}_{max} = \tfrac{8}{27}\rho S v_1^3\). Pour \(\rho = 1{,}2\) kg/m³, \(S = 3\) m², \(v_1 = 10\) m/s : environ 1,07 kW.

Moment cinétique

• \(d\vec{L}_O = (\vec{r}\wedge\vec{v})\,dm\) ; en écoulement stationnaire \(\dfrac{D\vec{L}_O}{Dt} = (\vec{r}_2\wedge\vec{v}_2 - \vec{r}_1\wedge\vec{v}_1)D_m\), égal au moment des forces extérieures.
• Application : tourniquet hydraulique : \(I\ddot\theta + 2\rho S u b^2\dot\theta = 2\rho S u^2 b\cos\alpha\), d'où \(\dot\theta(t) = \omega_0\left[1 - \exp(-t/\tau)\right]\) avec \(\omega_0 = \dfrac{u\cos\alpha}{b}\) et \(\tau = \dfrac{I}{2\rho S u b^2}\).

Bilan thermodynamique

Premier principe appliqué au système ouvert

Avec les travaux des forces de pression aux parois mobiles, \(\delta W_p = \left(\dfrac{p_1}{\rho_1} - \dfrac{p_2}{\rho_2}\right)D_m\,dt\), on obtient en régime stationnaire \(\left(h_2 + \dfrac{v_2^2}{2} + gz_2\right) - \left(h_1 + \dfrac{v_1^2}{2} + gz_1\right) = \dfrac{\mathcal{P}_{méca} + \mathcal{P}_{calorifique}}{D_m}\).

Cas particulier : écoulement incompressible stationnaire

Pour un écoulement parfait (travail des forces intérieures nul, \(Q = 0\), \(W' = 0\)) : \(h + \dfrac{v^2}{2} + gz = \text{cte}\), soit \(\dfrac{v^2}{2} + gz + \displaystyle\int\dfrac{dp}{\rho} = \text{cte}\), une forme du théorème de Bernoulli.

Conclusion

On peut effectuer des bilans mécaniques et thermodynamiques sur des systèmes ouverts en adaptant les lois générales, ce qui facilite l'étude des systèmes fluides.

Remarques

• Fluide parfait : phénomènes diffusifs négligeables, pas de conduction thermique, entropie constante le long d'une ligne de courant.
• En aspiration, le tourniquet hydraulique ne tourne pas.
• Un système ouvert n'est pas forcément fixe (fusée).

Bibliographie

• Faroux, Renault, Mécanique des fluides et ondes mécaniques
• Pérez, Mécanique, fondements et applications
• Grossetête, Mécanique des fluides
• Olivier, Gié, Thermodynamique 1^re et 2^e année, Tec & Doc