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Leçon de physique n°1 (agrégation 2011) :
Contacts entre deux solides. Frottement de glissement. Application au glissement et au roulement.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Aspect énergétique et microscopique, roulement avec et sans glissement, contact ponctuel et étendu, deux lois de Coulomb, phénomène d'hystérésis.

Prérequis

Cinématique, changement de référentiel pour \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\), définition du solide, théorème de Koenig, moment d'inertie.

Introduction

Définition du solide (six degrés de liberté) ; exemple de la voiture et du frottement.

Cinématique du contact entre deux solides

Contact

Superficiel, linéaire ou ponctuel (schéma).

Vitesse de glissement

\(\vec{v}_g(I) = \vec{v}_{(R)}(I_1) - \vec{v}_{(R)}(I_2)\), indépendante du référentiel ; non-glissement si \(\vec{v}_g(I) = \vec{0}\).

Roulement et pivotement

Formule de Varignon \(\vec{v}_{(R)}(M) = \vec{v}_{(R)}(I_1) + \vec{\Omega}_{S_1/R}\wedge\vec{I_1M}\) ; \(\vec{\Omega}_{S_1/S_2} = \vec{\Omega}_{S_1/R} - \vec{\Omega}_{S_2/R} = \vec{\Omega}_N + \vec{\Omega}_T\) : pivotement et roulement (schéma).

Actions de contact

Résultante et moment en I

Action de S₂ sur S₁ : \(\vec{R} = \vec{T} + \vec{N}\), \(\vec{\mathcal{M}}_I = \vec{\mathcal{M}}_T + \vec{\mathcal{M}}_N\) ; à l'équilibre, le solide ne bouge pas (PFD nul) et ne tourne pas (TMC nul).

Lois de Coulomb (lois phénoménologiques)

• \(\vec{N}\) est dirigée de S₂ vers S₁ ; \(\vec{N} = \vec{0}\) s'il n'y a pas de contact.
• \(\vec{T}\) : si \(\vec{v}_g \neq \vec{0}\), \(\vec{T}\wedge\vec{v}_g = \vec{0}\) et \(\vec{T}\cdot\vec{v}_g < 0\), \(\|\vec{T}\| = f_d\|\vec{N}\|\) ; si \(\vec{v}_g = \vec{0}\), \(\|\vec{T}\| \le f_s\|\vec{N}\|\) ; cône de frottement ; tableau de coefficients. La tribologie est la science du frottement.
• Expérience : arc-boutement ; par le PFD, \(f_s = T/N = \tan\alpha\) (à bien déterminer).
• Aspect microscopique : indépendance vis-à-vis de la surface de contact (aspérités des surfaces).

Approche énergétique

En général \(\mathcal{P} = \vec{R}\cdot\vec{v}_g + \vec{\mathcal{M}}_I\cdot\vec{\Omega}_{S_1/S_2}\) (translation et rotation) ; sans rotation, \(\mathcal{P} = \vec{R}\cdot\vec{v}_g < 0\) : énergie dissipée, la température augmente ; hystérésis.

Modèle du véhicule

Deux roues de rayon R (\(J = \tfrac{1}{2}mR^2\)), la roue motrice recevant le couple \(\mathcal{M}\) (puissance \(\mathcal{P} = \mathcal{M}\dot\varphi_2\)). PFD : \((M + 2m)\ddot{x} = T_1 + T_2\) et \(0 = N_1 + N_2 - (M + 2m)g\) ; théorème du moment cinétique en G (\(L^* = L_G + L_1^* + L_2^*\)) et pour chaque roue : \(J\ddot\varphi_2 = \mathcal{M} - RT_2\), \(J\ddot\varphi_1 = -RT_1\). Sans glissement, \(\ddot{x} = \mathcal{M}/(MR)\) environ, avec \(T_2 > 0\) (motrice) et \(T_1 < 0\) (dissipe) ; conditions \(|T_1| < f_d|N_1|\) et \(|T_2| < f_d|N_2|\) ; si \(v_g \neq 0\), l'accélération sature à \(\ddot{x} = fg/2\).

Conclusion

Recherche sur l'archet, l'enneigement, le roller-glisse.

Bibliographie

• H-Prépa, Mécanique du solide
• Tec & Doc, PC-PC*
• Hecht
• Ihéco