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Leçon de physique n°10 (agrégation 2011) :
Phénomènes interfaciaux impliquant des fluides. Applications.
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).
Remarques du jury
Forces de tension superficielle ; thermodynamique rigoureuse de l'interface.
Prérequis
Mécanique des fluides, théorème de Bernoulli, thermodynamique, mécanique.
Tension de surface
Mise en évidence
Une goutte au bout d'un tube projetée : interprétation par les forces de Van der Waals, qui attirent les molécules vers l'intérieur du liquide ; \(d\vec{F} = \gamma_{LG}\,d\ell\,\vec{n}\) ; tableau des γ.
Énergie de surface
\(\delta W = d\vec{F}\cdot d\vec{L} = \gamma\,dS > 0\) car \(d\vec{L}\) est de même sens que \(\vec{F}\).
Loi de Laplace et surface minimale
Bon potentiel thermodynamique à T0, P0 fixées : \(G = U - T_0S + P_0V\) ; deux systèmes, a (air) et b (bulle) : \(P = P_0 + \dfrac{4\gamma}{r}\) pour une bulle (deux interfaces). La surface minimale est la sphère, car \(\dfrac{dG}{d\Sigma}\) est une constante positive et G doit être minimal à volume fixé.
Gouttes et ménisques
Loi de Young-Dupré
Équilibre statique des forces linéaires sur la ligne triple : \(\gamma_{LG}\cos\theta = \gamma_{SG} - \gamma_{SL}\) ; θ = 0, mouillage total ; θ ≤ π/2, mouillage partiel ; θ > π/2, non mouillant.
Pesanteur et capillarité
- Longueur capillaire : \(\rho gr = \gamma/r\), d'où \(\ell_c = \sqrt{\dfrac{\gamma}{\rho g}} \approx 1\) mm pour l'eau dans l'air.
- Loi de Jurin : \(P_A = P_0 - \dfrac{2\gamma}{R} = P_0 - \dfrac{2\gamma\cos\theta}{r}\) et \(P_A + \rho gh = P_B = P_0\), d'où \(h \propto 1/r\) ; expérience.
Ondes capillaires
Mise en équation
On néglige \((\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\), faible courbure (\(dy_0/dx \ll 1\)) ; théorème de Bernoulli avec \(\vec{v} = -\vec{\nabla}\phi\) : \(\dfrac{\partial\phi}{\partial t} + \dfrac{P}{\rho} + gy\) constant et \(P = P_0 - \gamma/R\). Conditions \(\left.\dfrac{\partial\phi}{\partial y}\right|_{y=0} = 0\) et \(\left.\dfrac{\partial\phi}{\partial y}\right|_{y=y_0} = \dfrac{\partial y_0}{\partial t}\), d'où \(\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2} + g\dfrac{\partial\phi}{\partial y} - \dfrac{\gamma}{\rho}\dfrac{\partial^3\phi}{\partial x^2\partial y} = 0\) en \(y = y_0\). Fluide incompressible, \(\Delta\phi = 0\) ; variables séparables, avec les conditions aux limites \(\phi = Ae^{i(\omega t - kx)}\operatorname{ch}(ky)\).
Relation de dispersion
\(\omega^2 = \left(gk + \dfrac{\gamma}{\rho}k^3\right)\operatorname{th}(hk)\) : ondes de gravité pour \(k\ell_c < 1\), ondes capillaires au-delà ; minimum de la vitesse de phase \(c = \sqrt{\gamma h/\rho}\) environ ; mouvement circulaire des particules.
Bibliographie
- Bruhat, Mécanique
- H-Prépa, Mécanique des fluides
- Hulin, Hydrodynamique
- Diu, Guthmann, Lederer, Roulet, Thermodynamique
- de Gennes, Brochard-Wyart, Quéré, Gouttes, bulles, perles et ondes
