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Leçon de physique n°11 (agrégation 2011) :
Modèle du gaz parfait.
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).
Remarques du jury
Notion de température cinétique et thermodynamique ; ordres de grandeur ; gaz parfait polyatomique ; limites ; distribution des vitesses.
Prérequis
Dynamique du point, pression, chocs.
Hypothèses statistiques
Particules ponctuelles dans une cuve fermée.
- Dimension négligeable des particules : \(r \approx 10^{-9}\) m \(\ll n^{-1/3}\) (\(n \approx 10^{25}\) m−3).
- Interactions à courte portée : chocs élastiques.
- Chaos moléculaire : pas de mémoire ni de direction privilégiée des chocs, répartition uniforme des particules, \(n = N/V\) avec V très grand devant \(r^3\) (taille mésoscopique).
- Valeurs moyennes : un grand nombre de particules impose de raisonner sur des moyennes ; dans l'espace, n ; en vitesse, \(f(\vec{v})\), isotrope, donc \(f(v^2)\) ; \(f(\vec{v})d^3\vec{v}\) est la probabilité qu'une particule ait une vitesse entre \(\vec{v}\) et \(\vec{v} + d\vec{v}\), avec \(\int f(\vec{v})d^3\vec{v} = 1\) ; \(\langle X\rangle = \int f(\vec{v})X\,d^3\vec{v}\) ; isotropie : \(\langle v_x\rangle = \langle v_y\rangle = \langle v_z\rangle = 0\) et \(\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle = \tfrac{1}{3}\langle v^2\rangle\).
Calcul de la pression sur les parois
Force du gaz sur la surface : \(\vec{F} = P\,dS\,\vec{n}\). Méthode des collisions : \(d\vec{p}_{tot} = \vec{F}dt\), chaque choc transférant \(2mv\cos\alpha\,\vec{e}_z\) ; nombre de chocs \(N = \tfrac{1}{2}nv\,dt\cos\alpha\,dS\) (la moitié des particules ont le sens de \(+\vec{e}_z\)), environ \(10^{27}\) chocs/s ; d'où \(dp = nm\langle v_z^2\rangle dS\,dt = \tfrac{1}{3}\dfrac{N}{V}m\langle v^2\rangle dS\,dt\) et \(P = \dfrac{N}{V}\dfrac{m\langle v^2\rangle}{3}\).
Température du gaz parfait
- Énergie interne : \(U = \langle\sum E_c\rangle = \dfrac{Nm}{2}\langle v^2\rangle\).
- Température cinétique, mesure de U, définie par \(U = \tfrac{3}{2}Nk_BT\), telle que \(PV = Nk_BT\).
- Capacité thermique à volume constant : \(C_V = \dfrac{\partial U}{\partial T} = \tfrac{3}{2}Nk\), constante.
Loi de distribution des vitesses
Distribution de Maxwell f(v), qui s'élargit quand T augmente ; vitesse quadratique \(v^* = \sqrt{3k_BT/m}\).
Limites du modèle
Données expérimentales
\(PV_m\) dévie du gaz parfait quand P augmente ; transitions de phase ; CV en paliers (vers 80 K et 1 000 K).
Gaz de Van der Waals
Interaction dipôle-dipôle attractive (pression interne en \(-\left(\dfrac{n}{V}\right)^2\)) et volume minimal : \(\left(P + a\dfrac{n^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT\) (tableau de a et b), \(U = U_{GP} - \dfrac{n^2a}{V}\), dépendant de T et V. \(PV_m \approx RT + P\left(b - \dfrac{a}{RT}\right)\) : température de Mariotte \(T_M = \dfrac{a}{Rb}\), propriété du gaz.
Gaz polyatomiques
Degrés de liberté de rotation et de vibration : \(C_V\) passe de \(\tfrac{5}{2}R\) à \(\tfrac{7}{2}R\) ; températures de vibration et de rotation.
Conclusion
Gaz parfaits de fermions et de bosons.
Bibliographie
- Diu, Physique statistique
- Pérez, Thermodynamique
- Bertin, Faroux, Renault, Thermodynamique
- Tec & Doc, PCSI et PC-PC*
- H-Prépa, Thermodynamique 1
