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Leçon de physique n°14 (agrégation 2011) :
Thermodynamique des phénomènes irréversibles.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Exemples ; bilan d'entropie ; causes ; diffusion ; entropie échangée.

Prérequis

Premier et second principes, diffusion.

Présentation du problème

Deux systèmes isolés à des températures différentes

S₁ à T₁ et S₂ à T₂ échangent de la chaleur : comment, en fonction du temps ? Même question pour la diffusion de particules.

Processus irréversibles

En général, échange de variables d'état primitives avec l'extérieur : particules, énergie (frottement) ; donner des exemples simples de thermodynamique, sans formalisme lourd.

Notion d'équilibre local

Le système est hors équilibre, mais pas trop : transformation lente (\(\tau_{év}\)) devant l'équilibre microscopique (\(\tau_{éq}\), lié à la fréquence des collisions, environ \(10^{-10}\) s) ; volume mésoscopique pour moyenner (de l'ordre du µm³) : E, N, S sont définis en tout point et à tout instant.

Théorie du transport

Entropie locale

Entropie volumique \(s(u(\vec{r},t), n(\vec{r},t))\) : \(\dfrac{1}{T} = \left.\dfrac{\partial s}{\partial u}\right|_n\), \(\mu = -T\left.\dfrac{\partial s}{\partial n}\right|_u\) ; en général \(ds = \sum\dfrac{x_i}{T}d\xi_i = \sum Y_i\,d\xi_i\).

Lois de conservation

Rappel sur un cylindre de section S : \(S\,dx\,(n(t + dt) - n(t)) = (-S\,j(x + dx) + S\,j(x))dt\), d'où \(\dfrac{\partial n}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{j} = 0\) ; pour l'énergie, \(\dfrac{\partial u}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J}_u = 0\).

Bilan d'entropie

Flux d'entropie \(\vec{J}_s = \sum Y_i\vec{J}_i = \dfrac{1}{T}\vec{J}_u - \dfrac{\mu}{T}\vec{J}_n\) : \(\dfrac{\partial s}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J}_s = \sigma_c\), l'entropie n'étant pas conservative ; \(\sigma_c = 0\) pour une transformation réversible, les flux pouvant alors se faire dans les deux sens.

Applications

• Détente de Joule-Gay-Lussac : adiabatique, \(T_1 = T_2\), \(V_1 = \tfrac{1}{2}V_2\) : \(\Delta S = nR\ln2 = S_c\).
• Équation de la chaleur : loi de Fourier \(\vec{J}_u = -\kappa\vec{\nabla}T\), \(\dfrac{\partial T}{\partial t} = D_{th}\Delta T\), irréversibilité (non invariante par \(t \to -t\)) ; profil stationnaire linéaire dans une barre, \(T(x) = T_A + (T_B - T_A)\dfrac{x}{\ell}\).

Bibliographie

• H-Prépa, Thermodynamique
• Pérez, Thermodynamique
• Diu, Guthmann, Lederer, Roulet, Thermodynamique