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Leçon de physique n°18 (agrégation 2011) :
Introduction au facteur de Boltzmann à partir d'un exemple au choix.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Conditions d'utilisation du facteur ; ordre de grandeur des énergies ; limite classique ; aspects quantiques.

Équilibre de l'atmosphère terrestre (isotherme)

Modèle : bilan des forces sur \(dm = \rho\,dx\,dy\,dz\), équilibre \(\vec{F}_P = -\vec{F}_g\) : \(-\dfrac{\partial P}{\partial z} = \rho g\) avec \(\rho = \dfrac{PM}{RT}\), d'où \(P = P_0e^{-zMg/RT}\). Aspect microscopique : équilibre dynamique dû à l'agitation thermique, \(P = P_0e^{-mgz/k_BT}\) : compétition entre énergie potentielle et énergie thermique, \(N(z) \propto e^{-E_p/k_BT}\), facteur de Boltzmann.

Facteur de Boltzmann en général

Méthode de Gibbs : système S en contact avec un thermostat T, \(E_{tot} = E_{th} + E_S\) ; probabilité que S ait l'énergie E_S : \(\mathcal{P}(E_S) \propto \Omega_{th}(E_{tot} - E_S)\) ; \(\ln\mathcal{P} = \text{cte} + \dfrac{1}{k_B}S_{th}(E_0 - E_S) = \ln C + \dfrac{1}{k_B}S_{th}(E_0) - \dfrac{1}{k_B}\left.\dfrac{\partial S}{\partial E}\right|_{E_0}E_S\), avec \(\partial S/\partial E = 1/T\) : \(\mathcal{P} = \text{cte}\,e^{-E_S/k_BT}\). Fonction de partition \(Z = \sum_s e^{-E_s/k_BT}\), en continu \(Z = \displaystyle\int_0^\infty\rho(\varepsilon)e^{-\varepsilon/k_BT}d\varepsilon\).

Définition statistique des grandeurs thermodynamiques

\(U = \sum\mathcal{P}_iE_i = -\dfrac{\partial}{\partial\beta}\ln Z\) ; \(S = -k\sum\mathcal{P}_i\ln\mathcal{P}_i = k\left(\ln Z - \beta\dfrac{\partial\ln Z}{\partial\beta}\right)\) ; \(F = -\dfrac{1}{\beta}\ln Z\).

Application : système à deux niveaux

Atomes dans \(\vec{B}\), deux états +μ et −μ, densité n : \(\mathcal{P}(\mu) = \dfrac{e^{\mu B/kT}}{2\operatorname{ch}(\beta\mu B)}\) ; aimantation \(M = \dfrac{(N_+ - N_-)\mu}{V} = n\mu\operatorname{th}(\beta\varepsilon)\), qui sature ; pour \(\beta\varepsilon \ll 1\), loi de Curie \(\dfrac{\partial M}{\partial B} \propto \dfrac{1}{T}\) ; capacité thermique \(C_V = \partial U/\partial T\).

Théorème d'équipartition de l'énergie

N particules d'un gaz parfait en équilibre avec T, \(H = \sum\dfrac{p_i^2}{2m}\) : \(\langle E_{c,i}\rangle = \dfrac{\sum_{états}\dfrac{p_i^2}{2m}e^{-H/kT}}{\sum_{états}e^{-H/kT}}\) (état : \(\{\vec{r}_i, \vec{p}_i\}\)) ; les intégrales se factorisent et \(\langle E_{c,i}\rangle = \dfrac{1}{2m}\times3\dfrac{\int dp_x\,p_x^2e^{-p_x^2/2mkT}}{\int dp_x\,e^{-p_x^2/2mkT}} = \tfrac{3}{2}kT\).

Applications

Molécules : \(\tfrac{1}{2}kT\) par degré quadratique (rotation en \(\dot\theta^2\), vibration en \(x^2\)) : \(C_V = \tfrac{3}{2}, \tfrac{5}{2}, \tfrac{7}{2}\) (×R), paliers vers 80 K et 1 000 K ; excitation des modes de vibration ; la théorie quantique quantifie les modes : quand \(T \to 0\), \(C_V\) n'est pas constante mais tend vers 0.

Bibliographie

• Pérez, Thermodynamique
• Diu, Physique statistique
• Bertin, Faroux, Renault, Thermodynamique