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Leçon de physique n°2 (agrégation 2011) :
Caractère non galiléen du référentiel terrestre. Conséquences.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Définir les référentiels, la verticale et le fil à plomb ; ordres de grandeur.

Prérequis

Mécanique du point, référentiels non galiléens, mécanique des fluides, forces en \(1/r^2\).

Introduction

Besoin de référentiels ; définition d'un référentiel galiléen (\(m\vec{a} = \sum\vec{F}\)) ; effet de marée, déviation vers l'est.

Le référentiel terrestre, un référentiel non galiléen

Différents référentiels

Référentiels de Copernic, géocentrique, terrestre.

Jour solaire et jour sidéral

\(T_A\) = 1 an, \(T_{si}\) = 1 jour sidéral, \(T_{so}\) = 1 jour solaire = 24 h ; \(\Omega_{si} = \Omega_{so} + \Omega_A\), d'où \(T_{si}\) = 23 h 56 min 4 s.

Mécanique terrestre

Le poids

Définition de la verticale locale : à l'équilibre (\(\vec{v} = \vec{0}\), \(\vec{F}_c = \vec{0}\)), \(m\vec{a}(M) = \vec{T} + m\vec{\mathcal{G}}_T(M) - m\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{OM})\), les deux derniers termes formant le poids ; \(\dfrac{\Omega^2HM}{\sin\alpha} = \dfrac{g}{\sin\lambda}\).

Chute libre, déviation vers l'est

• Ordre 0 : \(\dfrac{f_c}{f_g} = \dfrac{2\Omega v}{g} \approx 10^{-3}\) (pour 120 km/h) : \(\vec{a} = \vec{g}\), \(\vec{v} = -gt\vec{u}_z\), \(z = -\tfrac{1}{2}gt^2 + h\) (force d'entraînement incluse dans le poids).
• Ordre 1 : \(\vec{f}_{cor} = -2m\vec{\Omega}\wedge\vec{v} = -2mg\Omega t\cos\lambda\,\vec{u}_y\), dirigée vers l'est ; pour λ = 51° et h = 150 m, \(\Delta x \approx 2{,}8\) cm. Mesures réelles côté est : la Terre tourne bien.

Conséquence climatique

Équation d'Euler pour le mouvement de l'air, \(\rho\dfrac{D\vec{v}}{Dt} = -\vec{\nabla}p - 2\rho\vec{\Omega}\wedge\vec{v} + \rho\vec{g}\), d'où \(\vec{\nabla}p \approx -2\rho\vec{\Omega}_H\wedge\vec{v}\) : le vent est perpendiculaire aux isobares, cyclones et anticyclones tournant en sens opposés pour λ > 0 et λ < 0.

Effet de marée

• Trois corps (Terre, Lune, Soleil), dans le référentiel de Copernic : \(m\vec{a}(M) = m\vec{\mathcal{G}}_T(M) + m\vec{\mathcal{G}}_{S,L}(M) - m\vec{a}(O)\) avec \(\vec{a}(O) = \vec{\mathcal{G}}_{S,L}(O)\) : terme de marée.
• Calcul (TL = D, TM = R) : \(\Delta\vec{\mathcal{G}}_L = \vec{\mathcal{G}}_L(M) - \vec{\mathcal{G}}_L(T) \approx Gm_L\left(\dfrac{2R}{D^3}\cos\lambda\,\vec{u}_x - \dfrac{R}{D^3}\sin\lambda\,\vec{u}_y\right)\), au maximum à l'équateur environ \(10^{-7}\,\mathcal{G}_T\) (0,5·10⁻⁷ pour la Lune).
• Marnage environ 0,5 m (calculable par l'hydrostatique \(V_g = mg\Delta h\)) : problème en cas de résonance, de forme des côtes ou de golfe ; périodicité deux fois par jour.
• Applications : limite de Roche, anneaux de Saturne.

Bibliographie

• H-Prépa, Mécanique (2^e année)
• Tec & Doc, PCSI et PC-PC*
• La physique par la pratique