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Leçon de physique n°20 (agrégation 2011) :
Phénomènes de transport. Illustration(s).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Modèle microscopique ; expériences de transferts thermiques.

Prérequis

Thermodynamique classique et statistique, mécanique des fluides.

Théorie élémentaire du transport

Irréversibilité

Le transport est un processus hors équilibre, une évolution irréversible ; par exemple deux corps à T₁ et T₂ qui tendent vers T : comment les grandeurs évoluent-elles en fonction de t et de \(\vec{r}\) ? Problème : la thermodynamique n'est définie qu'à l'équilibre (U, S, H).

Notion d'équilibre local, exemple de l'échange thermique

Deux échelles de temps : \(\tau_{éq}\), temps de retour à l'équilibre lié au temps de collision (environ \(10^{-9}\) s), et \(\tau_{év}\), temps d'évolution de U, S : \(\tau_{éq} \ll \tau_{év}\). Moyenne sur un nombre suffisant de particules : boîte de 100 nm, environ \(10^{9}\) particules ; fluctuations de \(\delta T/T\) en \(1/\sqrt{N}\), très inférieures aux variations imposées.

Lois de conservation

Conservation de la quantité de particules, de l'énergie... : \(dA/dt = 0\) au niveau local ; sur un volume de longueur dx, \(A(t + dt) - A(t) = (J_A(x) - J_A(x + dx))\,dt\), d'où \(\dfrac{\partial A}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J}_A = 0\).

Relations de fermeture

Lois phénoménologiques de Fick, Ohm, Fourier, où le signe moins traduit l'irréversibilité : \(\dfrac{\partial A}{\partial t} = D_A\Delta A\). Tableau loi, coefficient, équation pour les particules, la chaleur, la viscosité, l'électricité ; illustration : diffusion de la quantité de mouvement.

Propriétés

• Irréversibilité : non invariance par \(t \to -t\).
• Profondeur de pénétration en fonction du temps \(\delta = \sqrt{Dt}\) ; application numérique, épaisseur de peau ; expérience du tube, étalement du profil au cours du temps.

Illustrations

• Flux de chaleur dans une barre : solution \(I_Q = \dfrac{\lambda S\,\Delta T}{\ell}\), profil linéaire entre T_A et T_B ; résistance et circuit thermiques.
• Membrane cellulaire : exercice (Tec & Doc).
• Coefficients thermoélectriques : dans les métaux, les électrons participent à la fois à T et à I : \(\vec{J}_Q = -\lambda_1\vec{\nabla}T + \lambda_2\vec{\nabla}V\) et \(\vec{J}_I = -\mu_1\vec{\nabla}T - \mu_2\vec{\nabla}V\) ; à \(J_I = 0\), \(\vec{\nabla}T = a\vec{\nabla}V\) : coefficient Seebeck, thermocouples (expériences).

Bibliographie

• Tec & Doc, PC-PC*
• H-Prépa, Thermodynamique 2^e année
• Diu, Guthmann, Lederer, Roulet, Thermodynamique
• Hulin, Hydrodynamique
• Quaranta, tome 2