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Leçon de physique n°22 (agrégation 2011) :
Induction électromagnétique. Applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Conventions précises ; courants de Foucault ; applications simples.

Prérequis

Équations de Maxwell.

Mise en évidence

Loi de Lenz : aimant approché d'une bobine reliée à un galvanomètre, et bobine alimentée par un GBF près d'une autre bobine.

Équations de Maxwell dans l'ARQS

• Équations : \(\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0\), \(\vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\left(\vec{j} + \varepsilon_0\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\), \(\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0\), \(\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}\).
• ARQS : temps de déplacement des sources \(\tau_s\) très grand devant le temps de propagation des champs, \(\tau_s \gg D/c\) ; pour D = 1 m, \(T \gg 3\cdot10^{-9}\) s, \(f < 10^8\) Hz ; réseau électrique (D = 100 km), f = 10⁴ Hz.
• Dans l'ARQS, \(\dfrac{\mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t}{\vec{\nabla}\wedge\vec{B}} \ll 1\) : \(\vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{j}\), d'où \(\vec{\nabla}\cdot\vec{j} = 0\) et \(\partial\rho/\partial t = 0\) : conservation du courant, loi des nœuds.

Induction pour un circuit déformable dans un champ B permanent

Champ électromoteur et fem

Circuit mobile à \(\vec{v}_e\) : la force \(\vec{F}\) est la même dans les deux référentiels, d'où \(\vec{E}_L = \vec{v}_e\wedge\vec{B}\), \(\vec{B}_L = \vec{B}\) ; fem \(e = \displaystyle\int_A^B\vec{E}_L\cdot d\vec{\ell}\).

Loi de Faraday

\((\vec{v}_e\wedge\vec{B})\cdot d\vec{\ell}\,dt = \Phi_c\) (flux coupé) ; \(\oiint\vec{B}\cdot d\vec{S} = 0 = -\Phi_c + \Phi_2 - \Phi_1\), d'où \(\Phi_c = \Phi_2 - \Phi_1\) et \(e = -\dfrac{d\Phi}{dt}\).

Courants de Foucault

Disque tournant à Ω dans \(\vec{B}\) : \(\vec{E}_m = \vec{v}_e\wedge\vec{B} = r\Omega B\,\vec{e}_r\), \(\vec{j} = \gamma\vec{E}_m\), couple \(\vec{\Gamma} = \int dV\,d\vec{\Gamma} = -\dfrac{\gamma R^4B^2}{2}\pi e\,\vec{e}_z\), \(\dfrac{dE_c}{dt} = \vec{\Gamma}\cdot\vec{\Omega} < 0\) : le freinage croît avec B et Ω ; pas bon pour Ω ≪ 1, mais frein d'urgence. Expérience (pendule).

Induction dans un circuit fixe et B variable

Expression de la fem

\(e = \oint\vec{E}_m\cdot d\vec{\ell}\) ; par Stokes, \(\iint(\vec{\nabla}\wedge\vec{E})\cdot d\vec{S} = \iint-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}\), d'où \(\oint\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = e = -\dfrac{d\Phi}{dt}\).

Inductance mutuelle entre deux circuits

\(L_{12} = \dfrac{\Phi_{2\to1}}{I_2}\), le circuit 2 produisant \(\vec{B}_2\) : \(\Phi_{2\to1} = \iint\vec{B}_2\cdot\vec{n}_1dS_1 = \dfrac{\mu_0I_2}{4\pi}\oint\oint\dfrac{d\vec{r}_2\cdot d\vec{r}_1}{\|\vec{r}_2 - \vec{r}_1\|}\), d'où \(L_{21} = L_{12} = M\) (formule de Neumann).

Auto-induction

\(I \to B \to \Phi\), \(L = \Phi/I\), \(L = \dfrac{1}{I^2}\displaystyle\int\vec{j}\cdot\vec{A}\,dV\) ; \(e = -L\dfrac{di}{dt}\) : la bobine tend à faire circuler le courant dans le même sens, i doit être continu : étincelle de rupture, bougie d'allumage (expérience).

Bilan énergétique

Deux circuits couplés (E₁, R₁, L₁ ; E₂, R₂, L₂ ; M) : \(E_1 - \dfrac{d\Phi_{2\to1}}{dt} = R_1i_1\), idem pour 2 ; \(\int(E_1i_1 + E_2i_2)dt\) donne une énergie \(U = \tfrac{1}{2}Li^2\) stockée dans les lignes de champ.

Le transformateur

Même schéma sans R₂ ni E₂ : \(E_2 = \dfrac{M}{L_1}U + \left(\dfrac{L_1L_2 - M^2}{L_1}\right)\dfrac{di_2}{dt}\) ; si i₂ = 0, pour des solénoïdes de N₁ et N₂ spires, \(\dfrac{E_2}{E_1} = \dfrac{N_2}{N_1}\) : principe de la distribution EDF.

Bibliographie

• Quaranta, tome 3
• Bertin, Faroux, Renault, Électromagnétisme 2
• Pérez, Électromagnétisme
• Tec & Doc, PC-PC*