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Leçon de physique n°23 (agrégation 2011) :
Résonance magnétique. Exemples et applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Production des champs ; détection de la résonance.

Prérequis

Gyroscope, changement de référentiel, facteur de Boltzmann, Fourier, électromagnétisme, mécanique quantique.

Résonance magnétique

Rapport gyromagnétique

Électron qui tourne : \(\vec{\mu} = I\vec{S}\), \(\vec{\mu} = \gamma\vec{\sigma}\), \(\gamma = \dfrac{q}{2m}\) ; en mécanique quantique, toute particule a un spin.

Dynamique de \(\vec{\mu}\) dans \(\vec{B}_0\)

\(\dfrac{d\vec{\sigma}}{dt} = \vec{\mu}\wedge\vec{B}_0\), d'où \(\dot{\vec{\mu}} = \gamma\vec{\mu}\wedge\vec{B}_0\) : \(\dot\mu_x = \gamma\mu_yB_0\), \(\dot\mu_y = -\gamma\mu_xB_0\), \(\dot\mu_z = 0\) ; \(\mu_z\) constant, \(\mu_{x,y} \propto \cos(\omega t)\), \(\omega = \gamma B_0\) (application numérique : environ \(10^{11}\) rad/s pour l'électron, \(10^8\) pour le proton ; on regarde le proton).

Dynamique dans \(\vec{B}_0\) et \(\vec{B}_1\) tournant

\(\vec{B}_1 = B_1(\cos\omega t, \sin\omega t, 0)\) : \(\dot{\vec{\mu}} = \gamma\vec{\mu}\wedge(\vec{B}_1 + \vec{B}_0)\) ; dans le référentiel tournant, \(\dot{\vec{\mu}} = \vec{\mu}\wedge(\Delta\omega\,\vec{e}_z - \omega_1\vec{e}_x)\), champ effectif d'angle \(\tan\theta = \dfrac{B_1}{B_0(1 - \omega/\omega_0)}\) ; si \(B_0 \gg B_1\) : pour \(\omega \neq \omega_0\), θ → 0 ou π ; pour \(\omega = \omega_0\), θ = π/2 : résonance.

Production de B₁

Impulsion qui contient toutes les fréquences ; temps d'impulsion pour un basculement de 90° : \(t = \dfrac{2\pi}{4\gamma B_1}\) environ ; antenne, superposition de deux ondes rectilignes.

Application : spectroscopie RMN du proton

\(\omega_0\) diffère selon le voisinage électronique, \(\nu_0 = \dfrac{\gamma B_0}{2\pi}(1 - \sigma)\), σ de l'ordre du millionième : le spectre renseigne sur la molécule.

Résonance d'un échantillon macroscopique à T

• Aspect statistique : \(\vec{M}\) = n μ ; en mécanique quantique, deux niveaux ±μB₀, \(N_1/N_2 \approx 10^{-5}\) d'écart relatif.
• Système de N μ : à la résonance, \(M_{y'}\) en absorption et \(M_x\) en dispersion en fonction de ν (à placer après l'application RMN).
• Temps de relaxation : T₁ longitudinal (interaction spin-réseau), T₂ transverse (interaction spin-spin) ; équations de Bloch \(\dot{M}_{x,y} = \dots - \dfrac{M_{x,y}}{T_2}\), \(\dot{M}_z = \dots\) : M_x,y décroît, M_z remonte ; dépendance de T₁ et T₂ selon le voisinage, \(T_1 \approx 1{,}05\) s, \(T_2 \approx T_1/10\) (graisse, eau...).
• Application à l'IRM : B₀ dépendant de (x, y) donne \(\nu_0(x,y)\), \(\rho(x,y)\), \(T_{1,2}(x,y)\) ; signal \(S = \int d\nu\,\rho(x,y)T_{1,2}\,e^{i\nu_0(x,y)t}\), dont la transformée de Fourier donne m(x, y) : l'image.

Bibliographie

• Kastler
• Canet
• Günther
• Pérez, Électromagnétisme
• Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique
• Tec & Doc, Chimie PCSI