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Leçon de physique n°24 (agrégation 2011) :
Systèmes bouclés. Applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Stabilité des systèmes bouclés ; pas seulement les asservissements ; liens entre réponses temporelle et fréquentielle ; oscillateurs.

Nécessité des systèmes à boucle fermée

Cas d'une contrainte extérieure, position du problème

Commande et moteur, \(\Omega_S = KV_E\) avec K constante : mais \(\Omega_S\) varie en fonction de la résistance de la charge.

Cas du système bouclé

Comparateur, chaîne directe A et chaîne de retour B : \(\varepsilon = E - r\) ; à l'état stationnaire (E constante), si S diminue, r diminue, ε augmente et S augmente.

Équation fondamentale

Système linéaire, A et B fractions de \((j\omega)^n\) : \(T = \dfrac{S}{E} = \dfrac{A}{1 + AB}\) ; boucle ouverte \(AB = G\).

Précision

Si \(AB \gg 1\), \(T = 1/B\), insensible à A et à l'extérieur.

Réaction dans les amplificateurs (asservissement)

Régime fréquentiel

A du premier ordre \(A = \dfrac{A_0}{1 + j\omega/\omega_0}\) et B constante : \(T = \dfrac{A_0}{1 + A_0B}\,\dfrac{1}{1 + j\dfrac{\omega}{\omega_0(1 + A_0B)}\). Sans B, ampli A₀ et \(\omega_c = \omega_0\) ; avec, gain plus faible et \(\omega_c > \omega_0\), le produit \(\omega_c\times A\) restant constant (diagramme de Bode). Expérience avec un AO en amplificateur non inverseur.

Régime temporel

Équation différentielle du premier ordre ; réponse à un échelon plus rapide avec B que sans : le bouclage accélère la réaction.

Stabilité des systèmes bouclés

Conditions générales

Si e et s sont liés par une équation différentielle d'ordres n et m, \(T = \dfrac{\sum_m b_i(j\omega)^i}{\sum_n a_i(j\omega)^i}\) : pour e constant, \(s = e\sum\dfrac{A_i}{j\omega - a_i}\). Si \(a_i\) réel, solution exponentielle ; complexe, solution en \(e^{\operatorname{Re}(a_i)t}\cos(\operatorname{Im}(a_i)t)\) : stable si \(\operatorname{Re}(a_i) < 0\) pour tout i ; critère de Nyquist (lieu de T autour du point −1). Si −1 est sur le lieu : oscillations, critère de Barkhausen.

Application aux oscillateurs quasi sinusoïdaux

Oscillateur à pont de Wien (cf. montage 35) : diagramme en boucle ouverte ; oscillations en \(\cos(\operatorname{Im}(a_i)t)\,e^{\dots}\), limitées par la saturation de l'AO.

Bibliographie

• H-Prépa, Électronique PSI
• Krob, Électronique
• Manneville, Systèmes bouclés
• Duffait, Électronique
• Jelenski, Traitement du signal