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Leçon de physique n°25 (agrégation 2011) :
Traitement analogique d'un signal électrique. Étude spectrale. Exemples et applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Définir la fonction de transfert ; liens entre réponses temporelle et fréquentielle ; pas de CAN ; exploitation des filtres (ordre, type) ; analyse spectrale des signaux d'entrée et de sortie ; lien entre Bode et type de filtre (dérivateur, intégrateur) ; systèmes linéaires d'abord, mais aussi non linéaires.

Prérequis

Séries de Fourier, transformées, principes d'électronique.

Introduction

Définition du traitement du signal, ici seulement l'analyse. Expérience : signal et bruit blanc, puis analyse. L'analyse comprend filtrage, bruit et démodulation.

Éléments de théorie

Rappels sur les séries et la transformée de Fourier

Signal T-périodique \(e(t) = a_0 + \sum a_n\cos(n\omega t) + \sum b_n\sin(n\omega t)\) ; signal non périodique \(e(t) = \int E(\omega)e^{j\omega t}d\omega\).

Propriétés

Linéarité (\(e_1 + e_2 \to E_1 + E_2\)) ; spectre (le montrer à l'oscilloscope) ; convolution \(z(t) = \int x(t')y(t - t')dt' \Leftrightarrow Z(\omega) = X(\omega)Y(\omega)\).

Fonction de transfert

• Aspect temporel : un système linéaire (\(\lambda e_1 + e_2 \to \lambda s_1 + s_2\)) et invariant par translation dans le temps admet une réponse impulsionnelle h telle que \(s(t) = \int h(t')e(t - t')dt'\) ; si \(e = \delta(t)\), s = h.
• Aspect fréquentiel : pour \(e(t) = e^{j\omega t}\), \(s = \int h(t')e^{j\omega(t - t')}dt' = H(j\omega)e(t)\), soit \(S(\omega) = E(\omega)H(j\omega)\) ; \(h(t) \Leftrightarrow H(j\omega)\) ; diagramme de Bode \(|H|\) et \(\arg H\).

Application aux opérateurs linéaires

Propriétés

Équation différentielle linéaire \(a_0e + \sum a_i\partial^ie = \sum b_i\partial^is\) d'où \(H(\omega) = \dfrac{\sum_n a_i(j\omega)^i}{\sum_m b_i(j\omega)^i}\) (ordre selon m, n) ; signal harmonique : \(\omega_s = \omega_e\). Grande classe de H : passe-haut \(H \propto j\omega\) (dérivateur, car \(j\omega e^{j\omega t}\) est la dérivée), passe-bas \((j\omega)^{-1}\) (intégrateur), H constant réel (amplificateur).

Applications

• Filtre passe-bas passif du premier ordre (RC) : définir la fréquence de coupure ; élimination du bruit.
• Filtre passe-haut du second ordre actif : Sallen-Key.

Opérateurs non linéaires : application à la modulation et à la démodulation d'amplitude

• Propriétés : \(e_1 + e_2\) ne donne pas \(s_1 + s_2\) ; apparition d'autres harmoniques.
• Éléments : diode (de \(e_1\), création de \(\omega' \neq \omega\)), multiplieur (\(s = e^2\), \(\omega' = 2\omega\)).
• Démodulation : signal reçu sur l'antenne, détecteur de crête ou détection synchrone (cf. montage 26).

Bibliographie

• Krob, Électronique expérimentale
• Cottet, Traitement des signaux
• Tec & Doc, Électronique (Delacressonnière)