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Leçon de physique n°26 (agrégation 2011) :
Exemples de phénomènes de propagation unidimensionnels. Ondes progressives, ondes stationnaires. Aspects énergétiques.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Impédance pour tous les types d'onde ; dispersion ; aspect énergétique ; forme générale d'une onde progressive.

Prérequis

Séries de Fourier, électrocinétique.

Introduction aux équations d'onde à partir de deux exemples

Modèle de la corde vibrante

Approximation sans raideur, \(\vec{F}_1 = T(x)\vec{u}_1\), \(\vec{F}_2 = T(x + dx)\vec{u}_2\), α ≪ 1. Selon Ox, \(\ddot{x} = 0\), d'où \(T(x) = T(x + dx) = T_0\) ; selon Oy, \(\mu\,dx\,\partial_t^2\psi = T_0\,\partial_x\alpha\,dx\), soit \(\partial_x F = -\mu\partial_tv\) : \(\partial_x^2\psi - \dfrac{1}{c^2}\partial_t^2\psi = 0\), \(c = \sqrt{T_0/\mu}\), homogène à une vitesse (application numérique).

Modélisation d'un câble coaxial

Conducteur et capacité, schéma équivalent par tranche dx (Λ dx, Γ dx) : loi des mailles \(\Lambda\,dx\,\partial_tI = V(x) - V(x + dx)\), loi des nœuds \(\partial_tV\,dx\,\Gamma = I(x) - I(x + dx)\), d'où \(\Lambda\partial_tI = -\partial_xV\), \(\Gamma\partial_tV = -\partial_xI\) et \(\partial_x^2(I, V) - \Lambda\Gamma\partial_t^2(I, V) = 0\), \(c = 1/\sqrt{\Lambda\Gamma}\) : même équation, de d'Alembert (XVIII^e siècle).

Solutions de l'équation de d'Alembert

Solution générale

Avec \(a = x + ct\), \(b = x - ct\) : \(4\partial_a\partial_b\psi = 0\), \(\psi = s_1(a) + s_2(b)\) ; x et t sont reliés par \(x \mp ct\) : onde progressive vers les x croissants ou décroissants (corde : onde progressive transversale ; câble : longitudinale).

Onde harmonique

Linéaire, vecteur propre \(\cos(\omega t - kx)\) : double périodicité de l'onde en x et t ; relation de dispersion ω = ck, pas forcément linéaire.

Ondes stationnaires

\(\psi(x,t) = s_1(x)\,s_2(t)\).

Aspect énergétique

Notion d'impédance

Rapport de la quantité physique excitatrice à la réponse : corde F/v, câble V/I. Onde progressive vers +x : \(\partial_xV = -\Lambda\partial_tI = -\Lambda f'(t - x/c)\), d'où \(V = Z_cI\), \(Z_c = \sqrt{\Lambda/\Gamma}\) (environ 50 Ω) ; vers −x, \(V = -Z_cI\) ; idem pour F et v.

Bilan énergétique

\(\partial_x\mathcal{P} = I\partial_xV + V\partial_xI = \dots = -\partial_tE\) sur une tranche dx.

Vibrations d'une corde fixée

Forme des solutions

\(\psi(0,t) = \psi(L,t) = 0\) pour tout t : \(f(t) = -g(t)\), \(f(t - L/c) = -g(t + L/c)\) : f périodique de période T = 2L/c ; série de Fourier \(\psi(x,t) = \sum_n\sin\left(n\omega_0\dfrac{x}{c}\right)(\dots)\) : ondes stationnaires de période \(\dfrac{2\pi}{n\omega_0}\), \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\).

Modes propres

Seuls peuvent exister les modes de pulsation \(\dfrac{n\pi c}{L}\) : nœuds et ventres ; corde de Melde, l'oscillation forcée montre la résonance des modes de pulsation (expérience).

Application à un instrument de musique

Longueur de corde, mode de vibration : fondamental et harmoniques.

Bibliographie

• H-Prépa, Ondes
• Ondes, exercices
• Lumbroso, Ondes mécaniques
• Tec & Doc, PC-PC*