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Leçon de physique n°27 (agrégation 2011) :
Ondes acoustiques dans les fluides.
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).
Remarques du jury
Aspect énergétique ; pas seulement l'onde plane progressive harmonique.
Prérequis
Équation de d'Alembert, Navier-Stokes, Bernoulli, thermodynamique, transport, réflexion, impédance.
Introduction
Expérience : un HP excite une membrane ; l'air compressible transmet une variation de pression qui bouge la membrane.
Équation de propagation
Hypothèses du modèle
Tranche de fluide dx : PFD, conservation de la masse, bilan d'énergie, équation d'état ; approximation adiabatique et milieux continus ; viscosité négligée ; diffusion thermique \(\dfrac{\partial T}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2T}{\partial x^2}\) : adiabatique si le temps de diffusion \(L^2/D\) est grand devant la période (application numérique correcte).
Développement linéaire des équations couplées
\(\dfrac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0\) à l'ordre 1 (\(v_0 = 0\)) ; Navier-Stokes \(\rho\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \rho(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = -\vec{\nabla}P\) (le second terme d'ordre 2) ; \(\chi_S = \dfrac{1}{\rho}\left.\dfrac{\partial\rho}{\partial P}\right|_S\) ; d'où \(\dfrac{\partial p_1}{\partial t} = -\dfrac{1}{\chi_S}\vec{\nabla}\cdot\vec{v}\) et \(\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -\dfrac{1}{\rho_0}\vec{\nabla}p_1\) : écoulement potentiel, \(\vec{v} = \vec{\nabla}\phi\), \(p = -\rho_0\partial_t\phi\) ; \(\Delta(\vec{v}, p) - \dfrac{1}{c_S^2}\partial_t^2(\vec{v}, p) = 0\) : onde longitudinale ; gaz parfait isentropique \(c_S = \sqrt{\gamma RT/M}\).
Aspects énergétiques
Notion d'impédance
\(Z = \dfrac{p}{v} = \pm\rho_0c_S\) (selon le sens).
Bilan énergétique
\(d\mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = p\vec{v}\cdot d\vec{S}\) ; avec \(\rho_0\vec{v}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -\vec{v}\cdot\vec{\nabla}p_1\) : \(\vec{\nabla}\cdot(p\vec{v}) + \dfrac{\partial e}{\partial t} = 0\), \(e = \tfrac{1}{2}\rho_0v_1^2 + \tfrac{1}{2}\chi_Sp_1^2\) (énergie cinétique et potentielle).
Isolation phonique
Paroi de masse m : \(p_1(x < 0, t) = \rho_0c(A_1e^{i(\omega t - kx)} + B_1e^{i(\omega t + kx)})\), continuité \(A_1 + B_1 = A_2\), PFD sur la paroi, d'où le coefficient de transmission \(T = |A_2/A_1|^2\).
Acoustique humaine
- Le récepteur, l'oreille (schéma) : intensité en dB, déplacement du tympan, localisation spatiale.
- L'émetteur : cordes vocales et bouche ; vibration et spectre, comparaison selon les personnes ; bouche (résonateur).
Physique des instruments à vent (si le temps le permet)
Bibliographie
- H-Prépa, Ondes
- Tout-en-un
- Kane, Physique
- Lumbroso, Ondes
- Tec & Doc, PC-PC*
- BUP
