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Leçon de physique n°29 (agrégation 2011) :
Propagation guidée. Exemples et applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Pas seulement l'optique ou l'électromagnétisme ; conditions aux limites sur le guidage.

Prérequis

Électromagnétisme, optique géométrique, acoustique.

Cas de la propagation guidée en optique géométrique

Description d'une fibre optique

Cœur d'indice n₁, gaine n₂ : propagation seulement si réflexion totale, angle limite d'acceptance \(\theta_0 = \arcsin\sqrt{n_1^2 - n_2^2}\) (ouverture numérique). Montrer une fibre optique.

Transmission d'une impulsion

Les rayons d'inclinaisons différentes parcourent des chemins différents : élargissement \(\delta\tau = \dfrac{Ln_1}{c}\left(\dfrac{1}{\cos\theta} - 1\right)\), d'où un débit maximal d'environ \(6{,}5\cdot10^6\) bits/s.

Limites

Fibre à gradient d'indice (débit ×10³) ; si δτ diminue, θ diminue, petit diamètre : l'approximation géométrique n'est plus valable ; atténuation, d'où les répéteurs.

Applications

Endoscopie, Internet, gyroscopes.

Propagation guidée en électromagnétisme

Généralités

• Description : guide conducteur à symétrie cylindrique selon \(\vec{e}_z\), \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) en \(e^{-i\omega t}\) ; Maxwell \(\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = i\omega\vec{B}\), \(\vec{\nabla}\wedge\vec{B} = -i\mu\varepsilon\omega\vec{E}\), divergences nulles, d'où \((\nabla^2 + \mu\varepsilon\omega^2)(\vec{E}, \vec{B}) = \vec{0}\) ; propagation selon \(\vec{e}_z\) : \(\vec{E}, \vec{B} = \vec{E}, \vec{B}(x,y)e^{\pm ik_zz - i\omega t}\) ; conditions aux limites \(\vec{n}\wedge\vec{E} = \vec{0}\), \(\vec{n}\cdot\vec{B} = 0\).
• Décomposition en composantes transverse et selon \(\vec{e}_z\) : \(\vec{\nabla} = \vec{\nabla}_t + \partial_z\vec{e}_z\), d'où \(\vec{\nabla}_t\cdot\vec{B}_t = -\partial_zB_z\), \(i\omega B_z = \vec{e}_z\cdot(\vec{\nabla}_t\wedge\vec{E}_t)\) et la projection transverse \(\vec{e}_z\wedge(\dots) = -\partial_z\vec{E}_t + \vec{\nabla}_tE_z\) : équations de Maxwell.
• Différents modes : si \(B_z = E_z = 0\), \(\vec{\nabla}_t\cdot\vec{E} = 0\) et \(\vec{\nabla}_t\wedge\vec{E} = \vec{0}\) (solution statique), \(\vec{B} = \sqrt{\mu\varepsilon}\,\vec{e}_z\wedge\vec{E}\) : onde plane TEM, impossible dans un conducteur creux (E = 0) mais bonne pour un câble coaxial, sans dispersion. Mode TM (\(B_z = 0\)), mode TE (\(E_z = 0\)).

Cavité rectangulaire, mode TE

\(\partial_x^2B_z + \partial_y^2B_z + \left(\dfrac{\omega^2}{c^2} - k_z^2\right)B_z = 0\) ; variables séparées \(B_z = f(x)g(y)\), \(\alpha^2 = \omega^2/c^2 - k_z^2\), \(f(x) = A_x\cos(k_xx + \varphi_x)\) ; conditions en x = 0, a et y = 0, b : \(k_x = \dfrac{m\pi}{a}\), \(k_y = \dfrac{n\pi}{b}\).

Dispersion

\(k_z = \sqrt{\dfrac{\omega^2}{c^2} - \pi^2\left(\dfrac{m^2}{a^2} + \dfrac{n^2}{b^2}\right)}\) : filtre passe-haut, vitesse de groupe \(c\sqrt{1 - (\omega_c/\omega)^2}\). Radio en tunnel : \(\omega_c\) supérieur à 1 GHz, la radio ne passe pas, mais le portable oui.

Pertes

La dispersion pousse les fréquences vers le bas : pertes.

Analogie acoustique

Même équation différentielle, conditions aux limites sur p : tuyau, spectre de modes.

Bibliographie

• Pérez, Électromagnétisme
• Tec & Doc, PCSI
• Bertin, Faroux, Renault, Électromagnétisme 2
• Jackson, Électrodynamique classique
• Pour la science, octobre-novembre 2006
• Annales 2009