Agrégation/Capes > Leçons d'agrégation 2011 > Leçon de physique n°30 (agrégation 2011)

Leçon de physique n°30 (agrégation 2011) :
Dispersion et absorption d'une onde électromagnétique plane dans un milieu diélectrique. Modélisation microscopique.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Différence entre absorption et atténuation ; convention sur k.

Prérequis

Diélectriques.

Introduction

Mise en évidence : lampe QI, filtre, solution de KMnO₄, écran.

Équations de Maxwell dans un diélectrique

Hypothèses

Milieu linéaire, homogène, isotrope, non magnétique, sans charges ni courants extérieurs. \(\vec{P}\) proportionnel à \(\vec{E}\) (linéaire) : pour une onde plane, \(\vec{P} = \varepsilon_0\chi(\omega)\vec{E}\), χ complexe ; plus généralement \(\vec{P} = \int E(t')g(t - t')dt'\), d'où χ' et χ'' et les relations de Kramers-Kronig.

Relation de dispersion

Équations de Maxwell avec \(\vec{D}\) ; onde plane, vecteur propre \(e^{-i(\omega t - kz)}\) : \(\Delta\vec{E} = -\dfrac{\varepsilon_r}{c^2}\partial_t^2\vec{E}\), relation de dispersion \(-k^2 + \varepsilon_r\dfrac{\omega^2}{c^2} = 0\) ; \(\varepsilon_r\) complexe, donc n et k complexes : \(k = k' + ik''\), propagation (k') et atténuation (k'').

Structure de l'onde

\(\vec{k}\cdot\vec{E} = 0\), \((\vec{k}, \vec{E}, \vec{B})\) direct avec un déphasage ; \(\vec{E} = \vec{E}_0e^{-k''z}\cos(\omega t - k'z)\), \(v_\varphi = \omega/k'\) non constante en général.

Bilan de puissance

\(\langle\vec{\Pi}\rangle = \left\langle\dfrac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\right\rangle \propto \dfrac{k'}{2}\dfrac{E_0^2}{\mu_0\omega}e^{-2k''z}\) : loi de Beer-Lambert ; puissance cédée aux porteurs \(\langle\vec{E}\cdot\vec{j}\rangle \propto \chi''(\omega)E_0^2\), effet Joule.

Étude microscopique de χ(ω)

Modèle de Drude-Lorentz

Porteur de masse m soumis à \(q(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B})\) (\(F_B/F_E \approx v/c \ll 1\)), à un frottement \(-\gamma\vec{v}\) (modèle collisionnel, \(\tau \approx 10^{-8}\) s) et à une force de rappel vers la position d'équilibre : \(\dfrac{d^2\vec{x}}{dt^2} + \dfrac{1}{\tau}\dfrac{d\vec{x}}{dt} + \omega_0^2\vec{x} = \dfrac{q\vec{E}}{m}\), d'où \(\vec{P} = nq\vec{x}_0 = \dfrac{nq^2\vec{E}_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\omega/\tau)}\).

Expression de χ(ω)

χ' (dispersion, changement de signe en ω₀) et χ'' (pic d'absorption en ω₀).

Étude pratique

• Polarisation électronique : m faible, faible retard, \(\omega_0 \approx 10^{15}\) rad/s.
• Polarisation ionique : m environ 1 000 fois plus grande, \(\omega_0 \approx 10^{12}\) rad/s.
• Polarisation d'orientation, pour ω₀ faible (H₂O) : \(\chi = \dfrac{\chi(0)}{1 - i\omega\tau}\).
• Allure globale de χ'(ω) : contributions successives d'orientation, ionique et électronique.

Dispersion dans un milieu transparent

\(\chi'' = 0\) : \(k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2}\left(1 + \dfrac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)\) ; milieu non dispersif pour \(k \ll \omega_0/c\) et \(k \gg \omega_0/c\).

Cas du laser

Probabilités de transition entre N₀ et N₁, \(\omega_{12} = \omega_0\) ; inversion de population : \(\chi'' < 0\), amplification.

Bibliographie

• Tec & Doc, PC-PC*
• Pérez, Électromagnétisme
• Bertin, Faroux, Renault, Électromagnétisme 4