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Leçon de physique n°31 (agrégation 2011) :
Effet de peau. Comportement d'une onde électromagnétique à la surface d'un conducteur.
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).
Remarques du jury
Réfraction et réflexion ; incidence oblique non nécessaire ; dépendance en fréquence de la conductivité.
Prérequis
Électromagnétisme, Maxwell, relations de passage, ARQS, modèle de Drude, absorption, lois de Descartes.
Modèle de conductivité électrique
Équation du mouvement (modèle de Drude) : \(\vec{f} = q\vec{E} - \dfrac{1}{\tau}\vec{v}\) (modèle collisionnel), \(\dfrac{d\vec{v}}{dt} + \dfrac{\vec{v}}{\tau} = \dfrac{q\vec{E}}{m}\) ; en régime oscillant \(e^{-i(\omega t - kz)}\) : \(\vec{v} = \dfrac{q}{m}\dfrac{\tau\vec{E}}{1 - i\omega\tau}\), \(\vec{j} = \dfrac{ne^2\tau}{m}\,\dfrac{1}{1 - i\omega\tau}\vec{E} = \gamma\vec{E}\) (parties réelle et imaginaire en fonction de ω) ; \(\vec{P} = \dfrac{i\gamma}{\omega\varepsilon_0}\vec{E}\) ; \(\tau \approx 2\cdot10^{-14}\) s, \(\gamma_0 \approx 10^8\) SI pour le cuivre.
Propriétés d'un champ électromagnétique dans un conducteur
On se place à \(\omega \ll 1/\tau\), \(\vec{j} = \gamma_0\vec{E}\).
- Neutralité électrique : \(\dfrac{\partial\rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{j} = 0\), d'où \(\rho = \rho_0e^{-t/\tau_1}\), \(\tau_1 \approx 10^{-19}\) s : neutralité électrique interne.
- ARQS : \(\dfrac{\varepsilon_0\,\partial E/\partial t}{j} = \dfrac{\varepsilon_0\omega}{\gamma_0} \ll 1\) si \(f \ll 10^{18}\) Hz (cuivre).
- Équation pilote des champs : \(\Delta(\vec{E}, \vec{B}, \vec{j}) = \mu_0\gamma_0\dfrac{\partial}{\partial t}(\dots)\), équation de diffusion.
- Effet de peau (vide-métal) : \(k^2 = j\omega\gamma_0\mu_0\), \(k = \pm\dfrac{1 - j}{\delta}\) (on garde la solution qui ne diverge pas), \(\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma_0\omega}}\) : \(\vec{E} = e^{-z/\delta}\cos(\omega t - z/\delta)\vec{E}_0\). Application numérique : E ≈ 0 pour le cuivre à r > 1 mm si f > 2,5 kHz ; dans l'océan, ℓ = 10 km pour f > 2,5 Hz (problème des sous-marins) ; fil de cuivre à 50 Hz, δ ≈ 9 mm pour r = 1 mm (correct) ; blindage électromagnétique, miroir optique en couche d'épaisseur faible.
- Bilan énergétique : \(\vec{E}\cdot\vec{j} = \gamma E^2\).
Réflexion sur un conducteur en incidence normale
Expressions des champs et relations de passage
\(k_r = -k_i = n_1k_0\), \(k_t = k_0n_2\) ; relations de passage \(\underline{E}_t = \underline{E}_r + \underline{E}_i\), \(\underline{B}_i + \underline{B}_r = \underline{B}_t\).
Formules de Fresnel
\(\underline{E}_r = r\underline{E}_i\), \(\underline{E}_t = t\underline{E}_i\) : \(r = \dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\), \(t = \dfrac{2n_1}{n_1 + n_2}\), \(n^2 = 1 + \chi\).
Basses fréquences
\(n_2^2 = \dfrac{\gamma_0}{\varepsilon_0\omega}e^{i\pi/2}\) : R ≈ 1, \(T = \dfrac{4\pi\delta}{\lambda_0}\) ; pour le cuivre R ≈ 0,9973.
Hautes fréquences
- \(\omega < \omega_p\) : \(\gamma = \dfrac{i\gamma_0}{\omega\tau}\), \(n = i\left(\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2} - 1\right)^{1/2}\) : R = 1, T = 0, éclat métallique.
- \(\omega > \omega_p\) : \(n = \left(1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)^{1/2}\), \(R = \left(\dfrac{1 - n}{1 + n}\right)^2\), T = 1 − R.
- Tableau récapitulatif : \(\omega < 1/\tau\), \(1/\tau < \omega < \omega_p\), \(\omega > \omega_p\).
Pression de radiation
\(\dfrac{d\vec{F}}{dV} = \vec{j}\wedge\vec{B}\), d'où F = −PS avec \(P = \dfrac{2\Pi_i}{c}\). Applications : refroidissement laser, queue des comètes (gravité inférieure à la pression de radiation pour des particules de rayon inférieur au µm : expulsées).
Bibliographie
- Tec & Doc, PC-PC*
- Pérez, Électromagnétisme
