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Leçon de physique n°32 (agrégation 2011) :
Propriétés et applications du rayonnement dipolaire électrique.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Antennes ; polarisation de E et B.

Prérequis

Équations de Maxwell, polarisation, potentiels retardés, dipôle statique.

Dipôle électromagnétique

Définition : \(\sum q_i = 0\), \(\vec{p} = \sum q_i\vec{OM}_i\) ; cas particulier de deux charges +q et −q, \(\vec{p} = qa\cos(\omega t)\vec{u}_z\) (schéma en coordonnées sphériques).

Champs E et B rayonnés

Potentiel vecteur retardé \(\vec{A} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int dV\sum\dfrac{\vec{j}(M_i, t - MM_i/c)}{MM_i}\), le retard étant le temps de propagation ; avec \(\vec{j} = q\vec{v}/dV\), \(\vec{A}(M,t) = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\sum\dfrac{q_i\vec{v}_i(M_i, t - MM_i/c)}{MM_i}\). Approximations : \(MM_i \approx r\) (r ≫ a) et \(t - MM_i/c \approx t - r/c\) (λ ≫ a) : \(\vec{A} = \dfrac{\mu_0}{4\pi r}\dot{\vec{p}}(t - r/c)\). \(\vec{B} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{A} = \dfrac{\mu_0\sin\theta}{4\pi}\left[\dfrac{\dot{p}}{r^2} + \dfrac{\ddot{p}}{rc}\right]\vec{u}_\varphi\), le second terme dominant : \(\vec{B} = \dfrac{\mu_0\sin\theta}{4\pi rc}\ddot{p}\,\vec{u}_\varphi\), \(\vec{E} = \dfrac{\mu_0\sin\theta}{4\pi r}\ddot{p}\,\vec{u}_\theta\), puis \(\vec{\Pi}\).

Puissance rayonnée et propriétés des champs

• \(\mathcal{P}_{moy}/S = \langle\vec{\Pi}\rangle = \dfrac{\mu_0\sin^2\theta}{16\pi^2r^2c}\langle\ddot{p}^2\rangle\) ; puissance totale \(\int\langle\vec{\Pi}\rangle\cdot d\vec{S} = \dfrac{\mu_0p_0^2\omega^4}{12\pi c}\).
• Propriétés : E et B décroissent en 1/r (en statique en 1/r³) ; anisotropie (diagramme) ; une charge accélérée rayonne, rayonnement synchrotron ; retard dû à la propagation ; structure locale d'onde plane ; puissance en \(1/\lambda^4\).

Diffusion de Rayleigh

Modèle de l'électron élastiquement lié (force collisionnelle \(-\vec{v}/\tau\), oscillateur ω₀, milieu dilué) : \(m\ddot{\vec{r}} + \dfrac{m}{\tau}\dot{\vec{r}} + m\omega_0^2\vec{r} = q\vec{E}\), \(\vec{p} = q\vec{r} = \dfrac{q^2E_0e^{i\omega(t - r/c)}}{m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\omega/\tau)}\), puissance \(\mathcal{P} = \sigma(\omega)\varepsilon_0c\dfrac{E_0^2}{2}\), \(\sigma = \dfrac{8\pi r_e^2}{3}\,\dfrac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2/\tau^2}\). Trois zones : ω ≪ ω₀, diffusion Rayleigh en \(1/\lambda^4\), bleu du ciel (expérience QI et cuve de lait, lumière diffusée bleue et polarisée) ; résonance ; diffusion Thomson, σ constante.

Les antennes

Antenne demi-onde, \(I = I_0\cos(2\pi z/\lambda)\cos\omega t\), \(\vec{A} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int_{-\lambda/4}^{\lambda/4}\dfrac{I}{r}dz\,\vec{u}_z\) : \(\vec{B}\), \(\vec{E}\) et diagramme analogues à ceux du dipôle ; puissance rayonnée.

Bibliographie

• Tec & Doc, Électromagnétisme PC-PC*
• Pérez, Électromagnétisme
• Bertin, Faroux, Renault, Électromagnétisme 3