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Leçon de physique n°37 (agrégation 2011) :
Diffraction de Fraunhofer. Applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Formation des images.

Prérequis

Interférences.

Introduction

Expérience (Philora) : figure différente de celle de l'optique géométrique.

Diffraction de Fraunhofer

Principe de Huygens-Fresnel

Théorie scalaire, la lumière se propage ; chaque élément de surface rayonne une ondelette sphérique, de vibration telle qu'on additionne les sources ; le diaphragme ne fait que couper la vibration (pas d'interaction) : \(\psi(P) = \displaystyle\int_S\psi_0(M)Q(\theta)\dfrac{e^{ikr}}{r}\), Q(θ) varie peu.

Application à un diaphragme plan

\(\psi(P) = \int_D\psi_0(M)Q\dfrac{e^{ikr}}{r}\), r = MP, \(r = R\left(1 + \dfrac{x^2 + y^2}{R^2} - \dfrac{2(xX + yY)}{R^2}\right)^{1/2}\) ; r ≈ R au dénominateur, mais pas dans la phase (second ordre) car k est grand.

Approximation de Fraunhofer

R grand : \(r \approx R - \dfrac{xX + yY}{R}\) (avec le terme en x², Fresnel) : \(\psi = \text{cte}\int\psi_0(M)e^{i\vec{k}\cdot\vec{OM}}\), transformée de Fourier de \(\psi_0(M)\) ; \(I(M) = |\psi(M)|^2\).

Diffraction par une ouverture rectangulaire

Onde plane incidente

\(\psi = \text{cte}\displaystyle\int_0^a\int_0^bdx\,dy\,e^{-2\pi i(ux + vy)} \propto \operatorname{sinc}(\pi ua)\operatorname{sinc}(\pi vb)\) : si a < b, a' > b' ; minimum en π ; théorème de Babinet. Cas circulaire : fonction de Bessel, minimum à 0,61.

Onde plane d'angle quelconque

Phase \(e^{-2i\pi((u - u_0)x + (v - v_0)y)}\) : translation de I(u, v) en \(I(u - u_0, v - v_0)\).

Applications

Formation des images

A, diaphragme D, A' : équivalent à A projeté à l'infini par L₁, D, puis L₂ et écran (δ = 0 de part et d'autre) : \(u = X/f_2\), \(v = Y/f_2\), \(u_0 = X_S/f_1\), \(v_0 = Y_S/f_1\) ; si A est hors de l'axe optique, translation du centre ; l'image n'est pas ponctuelle.

Limite de résolution, critère de Rayleigh

Deux sources ponctuelles séparées de Δθ telles que les taches se recouvrent à mi-hauteur : \(\Delta\theta = \dfrac{1{,}22\lambda}{D}\) (ouverture circulaire).

Filtrage spatial

La diffraction de Fraunhofer réalise la transformée de Fourier de l'image (cf. montage 8).

Bibliographie

• Sextant, Optique expérimentale
• Pérez, Optique
• Tec & Doc, PC-PC*