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Leçon de physique n°4 (agrégation 2011) :
Approximation gyroscopique. Effets dans les domaines macroscopique et microscopique.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Expériences, définition des référentiels ; garder du temps pour le microscopique ; condition de résonance ; applications ; vérifier les hypothèses.

Prérequis

PFD, théorème du moment cinétique, électromagnétisme.

Approximation gyroscopique : cas de la toupie

Équations du mouvement

Trois degrés de liberté, un point fixe, référentiel galiléen (Copernic) : PFD \(m\dfrac{d\vec{v}_G}{dt} = \vec{R} + m\vec{g}\), théorème du moment cinétique \(\dfrac{d\vec{\sigma}_O}{dt} = \vec{OG}\wedge m\vec{g}\).

Approximation gyroscopique

\(\vec{\sigma}_O\) colinéaire à la direction de révolution, la vitesse angulaire propre étant très grande devant les deux autres : \(\vec{\sigma}_O = J\vec{\omega}\).

Expression du mouvement

Précession \(\dot\varphi = \dfrac{mga}{J\omega}\), avec ω et θ = θ₀ constants, indépendante de θ₀ : précession de la toupie autour de \(\vec{g}\) ; stabilité modifiée (déplacement de G) ; remarque sur la nutation.

Vérification des hypothèses et expérience

\(\dot\varphi \ll \omega\) ; expérience avec un gyroscope et ordres de grandeur de ω et \(\dot\varphi\). Autres types de liaisons, tels que \(\vec{\mathcal{M}}_{poids} = \vec{0}\).

Aspects macroscopiques

• Stabilité du vélo : \(\dfrac{d\vec{\sigma}}{dt} = \vec{OG}\wedge\vec{P}\) colinéaire à \(\vec{e}_y\) : le vélo tourne au lieu de tomber.
• Précession des équinoxes : moments d'inertie différents selon l'axe de rotation terrestre et l'axe perpendiculaire, d'où un moment dû à la Lune (effet dipolaire) ; période d'environ 26 000 ans.

Action dans un référentiel tournant

• Gyrocompas dans le référentiel terrestre : \(\left.\dfrac{d\vec{\sigma}}{dt}\right|_{R_C} = \vec{0} = \left.\dfrac{d\vec{\sigma}}{dt}\right|_{R_T} + \vec{\Omega}_T\wedge\vec{\sigma}\) : \(\vec{\sigma}\) oscille autour de \(\vec{\Omega}_T\) ; plan bloqué et frottement : \(\vec{\sigma}\) s'aligne sur \(\vec{\Omega}_T\), compas du nord géographique et mise en évidence de la rotation terrestre.
• Couple gyroscopique \(\vec{\sigma}\wedge\vec{\Omega}_{porteur}\) : stabilisation du roulis des navires (application numérique).

Résonance magnétique

• Rapport gyromagnétique : boucle de courant \(\vec{\mathcal{M}} = I\vec{S}\) avec \(I = q/T\), d'où \(\vec{\mathcal{M}} = \gamma\vec{\sigma}\), \(\gamma = \dfrac{q}{2m}\).
• Dynamique dans \(\vec{B}_0\) : \(\dfrac{d\vec{\mathcal{M}}}{dt} = \gamma\vec{\mathcal{M}}\wedge\vec{B}_0\), précession à \(\omega_0 = -\gamma B_0\) (ordres de grandeur : rayon 0,5 Å, \(v = 10^6\) m/s).
• Champ tournant \(\vec{B}_1(\omega)\) perpendiculaire à \(\vec{B}_0\) : dans le référentiel tournant, \(\dfrac{d\vec{\mathcal{M}}}{dt} = -\dots(\gamma\vec{B}_0 + \gamma\vec{B}_1 - \vec{\omega})\) : pour \(\omega = \omega_0\), résonance, précession autour de \(\vec{B}_1\).
• RMN : \(\vec{\mathcal{M}}\) devient le spin, \(B_0\) et \(B_1\) une onde électromagnétique ; à l'équilibre \(\vec{\mathcal{M}}\) est aligné sur \(\vec{B}_0\), puis sur \(\vec{B}_1\) ; il relaxe vers \(\vec{B}_0\) en émettant une onde électromagnétique, de temps de relaxation τ dépendant des tissus ; un gradient de B₀ permet la cartographie (IRM).

Bibliographie

• Bertin, Faroux, Renault, Mécanique 2
• Pérez, Mécanique et Électromagnétisme
• Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique
• La physique par la pratique