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Leçon de physique n°41 (agrégation 2011) :
Aspects ondulatoires de la matière. Notion de fonction d'onde.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Inégalités de Heisenberg ; vitesses de phase et de groupe ; lien avec la mécanique classique ; dimension et signification physique de la fonction d'onde.

Prérequis

Physique des ondes, mécanique lagrangienne, transformée de Fourier.

Prémisses de la théorie quantique

Rappels classiques

Physique des ondes : vecteur d'onde, vitesse de phase, équation de d'Alembert. Mécanique : objets ponctuels décrits par 6 paramètres, pas d'incertitude limitante, dynamique déterministe.

Principes de minimisation

Mécanique classique : moindre action \(S = \int L\,dt = \int p\,dq - Et\), \(\delta S = 0\), \(\dfrac{\partial S}{\partial t} = -E\), \(\vec\nabla S = \vec p\). Optique : moindre chemin optique \(\mathcal L = \int n\,ds\) (principe de Fermat, équivalent).

Physique des ondes : \(E = E_0e^{i(\omega t - \vec k\cdot\vec r)}\), \(\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = \omega\), \(\vec\nabla\varphi = \vec k\) : \(\vec k\) perpendiculaire aux surfaces équiphases.

Dualité onde-corpuscule

Einstein : \(E = h\nu\) (aspect mécanique et aspect ondulatoire reliés par une constante quantique), d'où \(\dfrac{\partial S}{\partial t} = \hbar\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}\) et \(\vec p = \hbar\vec k\). Relation de de Broglie \(\lambda = \dfrac{h}{mv}\) ; application numérique pour un électron : λ ≈ 10^-10 m. Expérience de diffraction d'électrons.

L'équation de Schrödinger

Analogie optico-mécanique

Surfaces S = cte : \(dS = p\,dq - E\,dt\), vitesse de phase \(v_\varphi = \dfrac{E}{p} = \dfrac{E}{\sqrt{2m(E - V)}}\) ; on cherche une équation d'onde \(\Delta\psi - \dfrac{1}{v_\varphi^2}\partial_t^2\psi = 0\) avec \(\psi \propto e^{-iEt/\hbar}\), d'où \(\Delta\psi + \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V)\psi = 0\) : équation aux valeurs propres.

Dépendance temporelle

\(\psi \propto e^{-iEt/\hbar}\) donne \(E = i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\) : \(i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi + V\psi\), ψ complexe (terme cinétique, terme potentiel).

Propriétés de l'équation de Schrödinger

• Équation de diffusion à temps imaginaire ; non relativiste.
• Premier ordre en t, second ordre en espace ; ψ et ψ' continues.

Notion de fonction d'onde

Interprétation probabiliste

Fentes d'Young avec des électrons : plus de trajectoire, \(P \neq P_1 + P_2\) (terme d'interférence). Par analogie avec E² : \(|\psi|^2d^3r\) est la probabilité de trouver la particule entre \(\vec r\) et \(\vec r + d\vec r\), d'où la normalisation \(\int|\psi|^2d^3r = 1\). La particule est décrite par une infinité de degrés de liberté et non plus 6 : plus de chemin, probabilité non déterministe.

Paquet d'ondes

Solution pour une particule libre : onde plane \(e^{i(\omega t - kx)}\) avec \(\omega = \dfrac{\hbar k^2}{2m}\), non normalisable. Superposition \(\psi = \int g(k)e^{i(kx - \omega(k)t)}dk\) ; par transformée de Fourier \(\Delta k\,\Delta x \geq 1\).

Relation d'incertitude de Heisenberg

\(\Delta p\,\Delta x \geq \hbar\) : x₀ à Δx près, p₀ à Δp près. Applications numériques : poussière, électron.

Évolution du paquet d'ondes

Milieu dispersif (v_φ non constante) ; vitesse de groupe \(v_g = \dfrac{\hbar k_0}{m} = \dfrac{p_{classique}}{m}\). Étalement pour g(k) gaussienne : \(\Delta x = \text{cte}\sqrt{1 + \alpha t^2}\).

Bibliographie

• Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique, tome 1
• Aslangul, Mécanique quantique, tome 1