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Leçon de physique n°43 (agrégation 2011) :
Confinement de l'électron et quantification de l'énergie. Exemples.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Faire l'atome d'hydrogène ; conditions aux limites.

Prérequis

Équation de Schrödinger, électromagnétisme, optique.

Contexte historique

Spectre d'une lampe spectrale

Expérience : lampe spectrale, prisme à vision directe, écran.

Modèle de Bohr

Potentiel en 1/r, \(E = -\dfrac{mC^2}{2L^2}\) ; quantification du moment cinétique \(L = n\hbar\), d'où \(\Delta E = h\nu_{n\to m} = 2\pi R\hbar c\left(\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{m^2}\right)\).

Expérience de Franck et Hertz (1913)

Électrons accélérés sous la tension V_g dans un gaz : en B, \(E = \dfrac12mv^2 = eV_g\) ; en C, \(E = eV_g - e\epsilon\). Collisions avec les atomes élastiques pour V_g < V_c, inélastiques pour V_g > V_c (et illumination du gaz) : chutes périodiques du courant. Confirmation de la quantification de l'énergie.

Puits de potentiel

Puits carré à une dimension

\(H\psi = E\psi\), partie temporelle en \(e^{-iE_nt/\hbar}\) ; continuité de ψ et ψ' (voir la leçon 41) en ±a/2.

Détermination des niveaux

Cas général : résolution graphique ; remarque : \(E_n > -V_0\), lien avec le principe d'incertitude.

Cas \(V_0 \to \infty\) : \(E_n = \dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\), n ≠ 0, et \(\psi_n = \sqrt{\dfrac2a}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)\).

L'atome d'hydrogène

Position du problème

Classiquement : particule fictive de masse réduite μ telle que \(\mu\ddot{\vec r} = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r\) ; idem en quantique. Dépendance en temps en \(e^{-iE_nt/\hbar}\) : \(\left[-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\Delta - \dfrac{e^2}{r}\right]\psi(\vec r) = E\psi(\vec r)\).

Solutions

\(\psi_{k,l,m}(\vec r) = \dfrac1r u_{k,l}(r)Y_l^m(\theta,\varphi)\) (harmoniques sphériques), avec \(\left[-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\partial_r^2 + \dfrac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2} - \dfrac{e^2}{r}\right]u_{k,l} = Eu_{k,l}\) (potentiel effectif). D'où \(E_n = -\dfrac{E_I}{n^2}\), E_I ≈ 13,6 eV, α ≈ 1/137, niveaux dégénérés n² fois. Fonctions d'onde : partie angulaire et partie radiale.

Conclusion

Puits quantiques : conductance quantifiée, nanotechnologies ; lasers, boîtes quantiques…

Bibliographie

• La Recherche, novembre 1992 et mars 1993
• Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique
• Cagnac, Physique atomique