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Leçon de physique n°44 (agrégation 2011) :
Effet tunnel. Applications.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Justifier les relations de continuité ; facteur de transmission.

Prérequis

Équation de Schrödinger, fonction d'onde, courant de probabilité.

Particule devant une barrière de potentiel

Aspect classique

Barrière de hauteur V₀ entre 0 et a (régions I, II, III) : si E ≤ V₀, la particule ne passe pas vers III ; si E ≥ V₀, elle passe.

Aspect quantique, E < V₀

Équation de Schrödinger \(\psi'' + \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V)\psi = 0\) dans I, II, III. Continuité de ψ et ψ' en 0 et a : due à l'équation de Schrödinger (ψ'' existe pour tout x), ou au courant \(\vec J \propto \psi\vec\nabla\psi^* - \psi^*\vec\nabla\psi\) continu (conservation du flux). Calcul des amplitudes A₁, A'₁, A₂, A'₂, A₃, A'₃.

Coefficient de transmission

Rappel sur le courant de probabilité : \(\dfrac{\partial\rho}{\partial t} + \vec\nabla\cdot\vec J = 0\), pour une onde plane \(\vec J = \rho\vec v_g\). Dans la région I, \(J_I = \dfrac{\hbar k}{m}(|A_1|^2 - |A'_1|^2)\) ; définition \(T = \dfrac{|J_{III}|}{|J_{incident}|} = \dfrac{|A_3|^2}{|A_1|^2}\).

\(T = \dfrac{1}{1 + \dfrac14\left(\dfrac{\rho^2 + k^2}{\rho k}\right)^2\mathrm{sh}^2(\rho a)}\) : si a → ∞ ou V₀ → ∞, T → 0.

Approche semi-classique

Pour ρa ≫ 1 : \(T \approx \dfrac{16}{(\rho/k)^2}e^{-2\rho a}\), avec \(2\rho a = \dfrac1\hbar\oint p\,dq\).

Applications

Radioactivité α

Principe : \((Z, N) \to (Z-2, N-2) + {}^4\mathrm{He}\) (E_c = E_α) ; on suppose qu'une particule α existe dans le noyau, confinée par les forces nucléaires puis repoussée par la force coulombienne.

Modèle de Gamow : \(V_0 = \dfrac{2Ze^2}{R}\), \(T = e^{-S/\hbar}\) avec \(S = \text{cte}\int_R^{R_\alpha}\sqrt{\dfrac1r - \dfrac1{R_\alpha}}\,dr\) (changement de variable \(\cos^2u = r/R_\alpha\)), soit \(S \approx a + \dfrac{b}{\sqrt{E_\alpha}}\). Durée de vie \(\tau = T\Delta t\) (fréquence d'aller-retour) : \(\ln\tau = \text{cte} + \dfrac{1}{\sqrt{E_\alpha}}\) (loi de Geiger-Nuttall).

Microscope à effet tunnel

Mesure du courant tunnel entre la pointe et l'échantillon ; à courant constant, \(j \propto e^{-\alpha h}\) donne la hauteur h.

Bibliographie

• BUP
• Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique
• Aslangul, Mécanique quantique, tome 1
• Le Bellac, Physique quantique
• Valentin, Physique subatomique