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Leçon de physique n°48 (agrégation 2011) :
Cohésion de la matière condensée.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Parler de l'origine de la cohésion.

Généralités

Définition

Matière condensée : présente un certain ordre ; fonction de distribution radiale des atomes voisins d'un atome donné (solide, liquide, gaz).

Évidence de l'état cristallin

Diffraction des rayons X : loi de Bragg \(2d\sin\theta = n\lambda\), interférences. Éléments de cristallographie, maille.

Propriétés physiques

Tableau (H-Prépa) ; énergie de cohésion à 0 K et P = 0 bar : énergie pour passer du cristal au gaz.

Cristal moléculaire

Liaison de Van der Waals

Interaction dipôle-dipôle : \(E_{int} = -\vec p_1\cdot\vec E_2 \propto -p_1p_2/r^3\) ; moyenne de Boltzmann \(\langle E\rangle \propto \int d\Omega\,e^{-\beta E_{int}}\dots\), d'où un terme en 1/r⁶ si \(E_{int} \ll kT\). Tableau d'ordres de grandeur.

Potentiel de Lennard-Jones

Principe de Pauli : répulsion en 1/r¹², d'où \(V = -\dfrac{1}{r^6} + \dfrac{1}{r^{12}}\) (à des constantes près) ; minimum à la distance R entre molécules. Tableau.

Cristal ionique

Mise en évidence

Calcul énergétique, ordre de grandeur \(\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0r} \approx 1\ \text{eV}\) : énergie de cohésion.

Modèle de la liaison ionique

Différence d'électronégativité χ(A), χ(B) (Na 0,9 ; Cl 3) : ions ⊕ et ⊖, \(U = \sum\left(\dfrac{\lambda}{R^{12}} - \dfrac{q^2}{r_{ij}}\right)\) (terme coulombien). Constante de Madelung \(\dfrac{\alpha}{r} = \sum\pm\dfrac{1}{r_{ij}}\) ; comparaison modèle-expérience.

Cristal covalent : théorie des bandes

Principe

Couplage d'un ensemble d'orbitales : levée de dégénérescence, pour une infinité d'atomes couplés on obtient des bandes.

Modèle des liaisons fortes

Chaîne d'atomes 1s de pas a : H périodique, l'opérateur de translation commute avec H (\(TH\psi = HT\psi\)), on cherche ψ tel que \(H\psi = \lambda\psi\), \(T\psi = c\psi\) ; \(T_{n+n'} = T_nT_{n'}\) donne \(c = e^{ikna}\), k réel. \(\psi_k = \sum c_{k,l}\psi_{1s}(x - na)\), d'où \(c_{k,l} = c_0e^{ikna}\) ; périodicité \(k = \dfrac{p2\pi}{Na}\). Éléments de matrice \(\langle\varphi_l|H|\varphi_{l'}\rangle\) : α + β, A/2 ou 0, d'où \(E = \langle\psi|H|\psi\rangle = \alpha + \beta + A\cos(ka)\) : bande d'énergie. Isolant, conducteur, semi-conducteur.

Bibliographie

• H-Prépa, Chimie des matériaux
• Kittel, Physique de l'état solide
• Ashcroft-Mermin, Physique des solides
• Aslangul, Mécanique quantique
• Cazaux, Rousseau
• Problème d'agrégation
• Sayet