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Leçon de physique n°49 (agrégation 2011) :
Chaîne unidimensionnelle infinie d'oscillateurs harmoniques. Approximation des milieux continus.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Modèle discret à une dimension d'oscillateurs harmoniques couplés

Mise en équation

Solution et relation de dispersion

Relation de dispersion sur [−π/a, π/a] (bande interdite au-delà) ; solution en modes propres ; analogie avec la diffraction.

Vitesses de groupe et de phase

Approximation des milieux continus

λ ≫ a, avec a ≈ 10^-10 m : on retrouve l'équation de d'Alembert, \(v = a\sqrt{K/m}\). Pour le fer : v ≈ 10³ m/s, m ≈ 10^-25 kg, d'où K ≈ 0,1 N/m. Extension à 3D : module d'Young.

Vibrations d'un réseau diatomique

Réseau de type NaCl.

Solution

Branche optique (atomes voisins en opposition) et branche acoustique (en phase) ; ω₁, ω₂ ; applications.

Phonons et quantification

Si le temps le permet : chaleur spécifique, loi de Dulong et Petit, modèle d'Einstein.

Bibliographie

• Pérez, Mécanique
• Kittel, Physique de l'état solide
• Mécanique quantique
• Cazaux