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Leçon de physique n°5 (agrégation 2011) :
Exemples d'utilisation des lois de conservation en dynamique des systèmes.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Particule fictive pertinente ; pas seulement le vecteur constant ; deux masses comparables ; système isolé.

Prérequis

PFD, théorème du moment cinétique, barycentre, lagrangien, théorème de Koenig, coordonnées polaires.

Lois de conservation et invariances physiques

Conservation de l'énergie mécanique

Rappel du théorème de la puissance cinétique \(\dfrac{dE}{dt} = \mathcal{P}_{dissip}\) : système isolé non dissipatif, \(dE/dt = 0\). Lagrangien indépendant du temps : \(\dfrac{d}{dt}\left(\mathcal{L} - \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\dot{q}\right) = 0\). Premier théorème de Noether : conservation de l'énergie ⇔ invariance par translation dans le temps.

Conservation de la quantité de mouvement

PFD \(\dfrac{d\vec{p}}{dt} = \vec{R}\) en référentiel galiléen ; système isolé (\(\vec{R} = \vec{0}\)) ou pseudo-isolé (\(\vec{R}_1 + \vec{R}_2 = \vec{0}\)). Lagrangien invariant par translation (\(\vec{q} \to \vec{q} + \delta\vec{q}\), \(\delta\mathcal{L} = 0\)) : \(M\vec{v}\) constante. Deuxième théorème de Noether : conservation de la quantité de mouvement ⇔ invariance par translation.

Conservation du moment cinétique

Théorème du moment cinétique en un point fixe \(\dfrac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{\Gamma}_O\) ; système isolé, \(\vec{\Gamma}_O = \vec{0}\). Lagrangien invariant par rotation (\(\delta\vec{r} = \delta\theta\,\vec{u}\wedge\vec{r}\), \(\delta\vec{v} = \delta\theta\,\vec{u}\wedge\vec{v}\)) : \(\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\wedge\vec{v}) = \vec{0}\). Troisième théorème de Noether : conservation de L ⇔ invariance par rotation.

Collision élastique entre deux particules de même masse

Définition d'un choc élastique

Pas d'échauffement (\(\Delta E = 0\)), pas de force extérieure ; durée du choc très brève devant l'expérience (environ 1 ms), localisé dans l'espace.

Dynamique (référentiel galiléen)

Particule 1 de vitesse \(\vec{v}\) sur la particule 2 immobile, qui repartent avec \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\) : système isolé, \(\Delta\vec{p} = \vec{0}\) et \(\Delta E = 0\), d'où \(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\) et \(\tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}mv_1^2 + \tfrac{1}{2}mv_2^2\) : \(\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2\), et \(\vec{v}(G)\) constante.

Mouvement des planètes

Deux corps en interaction gravitationnelle dans un référentiel galiléen : \(\vec{F}_{E\to P} = -\dfrac{Gm_Em_P}{PE^3}\vec{EP}\).

Réduction canonique

\(m_P\dfrac{d^2\vec{OP}}{dt^2} = \vec{F}_{E\to P}\) et \(m_E\dfrac{d^2\vec{OE}}{dt^2} = -\vec{F}_{E\to P}\), d'où \(\dfrac{d^2\vec{OG}}{dt^2} = \vec{0}\) (\(\vec{v}(G)\) constante) ; la combinaison des deux donne \(\mu\dfrac{d^2\vec{EP}}{dt^2} = -\dfrac{Gm_Em_P}{EP^3}\vec{EP}\) : particule fictive M dans le référentiel barycentrique, \(\vec{GM} = \vec{EP} = \vec{r}\), \(\mu = \dfrac{m_Em_P}{m_E + m_P}\).

Conservation du moment cinétique

\(\vec{L}_O = \vec{L}_G + \vec{L}^*_M = \vec{r}\wedge\mu\vec{v}\) constant : mouvement plan (première loi de Kepler) ; \(r^2\dot\theta\) constante, loi des aires (deuxième loi) ; troisième loi \(\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{Gm_E}\).

Cinétique

Trajectoire \(r = \dfrac{p}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)}\) : ellipse (première loi), parabole ou hyperbole (schéma). Plutôt que la formule de Binet, utiliser le vecteur de Runge-Lenz, autre symétrie.

Détection des exoplanètes

L'étoile décrit autour de G un petit cercle, \(\vec{GE} = -\dfrac{m_P}{m_E + m_P}\vec{r}\) ; T, identique pour r, r_E et r_P, donne a par la troisième loi, puis \(a\,m_P = m_E\,r_E\) donne la masse de la planète.

Bibliographie

• Pérez, Mécanique
• Tec & Doc, Mécanique II et PCSI
• Millésime corrigé
• Souriau, Symétries
• H-Prépa, Mécanique 1
• BUP