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Leçon de physique n°55 (agrégation 2011) :
Exemples d'effets de non-linéarité sur le comportement d'un oscillateur.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Dessiner souvent la forme de U(x) ; pas seulement le pendule pesant ; montrer différents effets.

Oscillateur anharmonique libre

Pendule pesant

Généralités : énergie potentielle \(E_p = -mgl\cos\theta\), PFD \(\ddot\theta + \omega_0^2\sin\theta = 0\) ; équilibre stable et instable. Pour E < 2mgl, \(T = T_0f(\theta_m)\) obtenu par une intégrale en dθ.

Petites oscillations : \(T = T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\).

Influence des harmoniques supérieurs : \(\sin\theta \approx \theta - \dfrac{\theta^3}{6}\), la solution n'est plus linéaire (perte d'isochronisme). Symétrie θ → −θ : on cherche \(\theta = \theta_0(\sin\omega t + \varepsilon\sin 3\omega t)\), θ₀ ≪ 1, ε ≪ θ₀, d'où \(\omega^2 = \omega_0^2\left(1 - \dfrac{\theta_0^2}{8}\right)\).

Portrait de phase : si θ₀ → π, la période diverge.

Applications

Dilatation des solides : \(\bar x = \dfrac{\int x\,e^{-\beta V}}{\int e^{-\beta V}} \propto T\) avec \(V = V_0 + ax^2 + bx^3\) : le terme anharmonique explique la dilatation.

Doublage de fréquence : milieu non linéaire, \(P = \varepsilon_0\chi(E + E^2)\) : une onde ω génère 2ω ; \(\Delta E - \partial_t^2E \propto \partial_t^2P\).

Oscillateur anharmonique forcé

Modèle

Équation de Duffing \(\ddot x + \lambda\dot x + \epsilon x^3 + \omega_0^2x = F_m\sin\omega t\) ; par le calcul, \(\dfrac34\epsilon x_{1,m}^3 + (\omega_0^2 - \omega^2)x_{1,m} - F_m = 0\).

Analyse des solutions

Courbe de résonance penchée : hystérésis (sauts d'amplitude).

Application : microscope à force atomique

Force de Van der Waals entre la pointe et l'échantillon : F(D) ; amplitude en fonction de D, technique d'approche-retrait, qualité de la pointe.

Bifurcation

Pendule pesant en rotation : étude de l'équilibre, accélération de Coriolis. \(E_c = \dfrac{ml^2\dot\theta^2}{2}\), \(E_p = -mgl\cos\theta\), énergie potentielle centrifuge \(E_e = -\dfrac{m\Omega^2l^2\sin^2\theta}{2}\) : équilibre stable devenant instable au-delà d'une vitesse critique (bifurcation). Expérience.

Conclusion : chaos, solitons.

Bibliographie

• Dangoisse, Les lasers
• Aigouy, Microscopies
• H-Prépa, Mécanique
• BFR, Mécanique
• Mathieu, Vibrations, tome 1
• Cazaux, Initiation à la physique du solide
• Pérez, Mécanique