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Leçon de physique n°7 (agrégation 2011) :
Dynamique relativiste. Exemples.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Intérêt du référentiel barycentrique ; seuil énergétique ; invariance et conservation.

Prérequis

Cinématique relativiste, quadrivecteurs, électromagnétisme, chocs.

Quadrivecteur énergie-impulsion et quadrivecteur force

Rappels

\(S(\tilde{v}, \tilde{w}) = v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3 - v_0w_0\), invariant par changement de référentiel ; \(\tilde{v}' = \mathcal{L}\tilde{v}\).

Quadrivecteur énergie-impulsion

Postulat : il existe une action \(\vec{f}\) à trois composantes ; toute particule a \(\vec{p}\) et E avec \(d\vec{p} = \vec{f}\,dt\) et \(dE = \vec{f}\cdot d\vec{r}\) ; alors \(d\vec{p}\cdot d\vec{r} - dE\,dt = 0\) dans tout référentiel ; \(\tilde{r}\) étant un quadrivecteur, \((\vec{p}, E/c)\) en est un : \(\tilde{P}' = \mathcal{L}\tilde{P}\).

Masse propre

Dans R*, \(\vec{p}^* = \vec{0}\) et E* constante ; \(\tilde{P}_R = \mathcal{L}^{-1}\tilde{P}^*\) donne \(\vec{p} = \dfrac{\gamma E^*}{c^2}\vec{v}\) et \(E = \gamma E^*\). Pour \(v \ll c\), \(p = mv\) d'où \(E^* = mc^2\) et \(E \approx mc^2 + \tfrac{1}{2}mv^2\) ; m invariant scalaire, \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\).

Masse du photon

v = c, γ infini : pour \(E = \gamma mc^2\) finie, m = 0 et E = pc.

Quadrivecteur force

\(d\vec{p} = \vec{f}\,dt\) et \(dE = \vec{f}\cdot\vec{v}\,dt\) posent problème car dt dépend de R ; or \(d\tilde{P} = \left(\gamma\vec{f}\,dt^*, \gamma\dfrac{\vec{f}\cdot\vec{v}}{c}dt^*\right)\), \(\tilde{P}\) et dt* étant invariants : \(\tilde{F} = \left(\gamma\vec{f}, \gamma\dfrac{\vec{f}\cdot\vec{v}}{c}\right)\), et \(\vec{f} = d\vec{p}/dt \neq m\vec{a}\).

Application à une particule chargée

Dans R, \(\vec{f} = q\vec{E}_0\) : \(p = qE_0t\), \(v = \dfrac{c^2}{E}p\) et \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\), d'où \(v = \dfrac{c^2qE_0t}{\sqrt{q^2E_0^2c^2t^2 + m^2c^4}}\) : v tend vers c (et non une droite).

Collisions entre particules

• Problème des interactions : N particules en interaction, problème de simultanéité.
• Particule isolée : \(\tilde{F}_k = \tilde{0}\), \(\tilde{P}_k\) constant : plus de problème de simultanéité.
• Chocs et lois de conservation, choc bref et localisé : \(\sum\tilde{P}_k = \sum\tilde{P}'_k\) ; référentiel barycentrique \(\sum\vec{p}_k = \vec{0}\).
• Choc élastique (nombre et genre des particules conservés) : dans le référentiel du laboratoire, \(\tilde{P}_1^2 = \tilde{P}'^2_1 = -m_1^2c^2\), \(\tilde{P}_1 + \tilde{P}_2 = \tilde{P}'_1 + \tilde{P}'_2\), et l'on élève au carré.
• Énergie seuil : dans R, \(\tilde{P}_1(\vec{p}_1, E_1)\) et \(\tilde{P}_2(\vec{0}, m_2c^2)\) ; dans R*, \(E^* = \sqrt{2mc^2(E_1 + mc^2)}\) si \(m_1 = m_2\) : pour E₁ = 1 TeV, E* ≈ 40 GeV seulement, d'où les collisionneurs en anneau.
• Effet Compton : \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\).
• Choc inélastique : n → p + e⁻ + \(\bar\nu\) ; avec deux particules, \(\vec{p}_1\) et \(\vec{p}_2\) seraient fixés, mais pas avec trois : spectre continu du nombre d'électrons en fonction de leur énergie.

Bibliographie

• Grossetête, Relativité
• Zitoun, Introduction à la physique des particules