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Leçon de physique n°8 (agrégation 2011) :
Notion de viscosité d'un fluide. Écoulement visqueux. Nombre de Reynolds. Exemples simples.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).

Remarques du jury

Comprendre écoulement tourbillonnaire et turbulent ; conditions d'application de Navier-Stokes ; relation entre nombre de Reynolds et nature de l'écoulement ; caractère diffusif des forces de viscosité.

Prérequis

Hydrostatique, gaz parfait, cinématique des fluides, diffusion, transport.

Introduction : approche phénoménologique

Expérience : une bille tombe lentement dans un liquide, une force tangentielle retient le fluide. Plaque tirée à la vitesse \(V_P\) au-dessus d'une couche de fluide d'épaisseur h : \(F \propto \dfrac{SV_P}{h}\) ; loi de Newton \(F = \eta S\dfrac{V_P - V_0}{h - h_0}\) (fluide newtonien, η constante, en poiseuilles, kg·m⁻¹·s⁻¹).

Notion de viscosité

Bilan des forces de viscosité

\(d\vec{F}(y_0 + dy) + d\vec{F}(y_0) = d\tau\,\eta\,\Delta\vec{v}\).

Conditions aux limites

\(\vec{v}\) continue sur les parois ; tableau et échelle des viscosités.

Équation de Navier-Stokes

Pour un fluide homogène en écoulement incompressible (v ≪ c)

\(d\tau\dfrac{d}{dt}\rho\vec{v} = -d\tau\vec{\nabla}p + \eta\,d\tau\,\Delta\vec{v}\), soit \(\rho\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \rho(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = -\vec{\nabla}p + \eta\Delta\vec{v}\).

Écoulement de Couette plan

• \(\vec{v} = v(y,t)\vec{e}_x\), p selon \(\vec{u}_y\), \(\vec{g}\) selon \(\vec{e}_z\), conditions \(v(0) = 0\) et \(v(h) = V_P\) : \(\dfrac{\partial v}{\partial t} = \nu\dfrac{\partial^2v}{\partial y^2}\), équation de diffusion de la vitesse, irréversibilité ; \([\nu]\) coefficient de diffusion (tableau).
• Régime stationnaire : \(v = \dfrac{V_P}{h}y\) ; puissance dissipée \(d\mathcal{P}_v = -\eta\left(\dfrac{V_P}{h}\right)^2\) par unité de volume : terme dissipatif.

Origine microscopique

Couches lentes et rapides : transport de quantité de mouvement, flux de \(m\vec{v}\) en \(mn\bar{v}\dfrac{\partial v}{\partial y}dy\) ; ordre de grandeur \(\nu \approx \ell v_T \approx 10^{-7}\times10^3 = 10^{-4}\), correct.

Écoulement de Poiseuille

Fluide incompressible, stationnaire, ρ, η, L, \(\vec{v} = v(r)\vec{u}_z\), sans \(\vec{g}\) : \((\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = \vec{0}\), \(v = \dfrac{P(0) - P(L)}{4\eta L}(R^2 - r^2)\), débit \(\dfrac{\pi R^4}{8\eta L}(P(0) - P(L))\) : chute de pression ; application au cœur (D constant) : ΔP faible dans une artère, fort dans un capillaire ; écoulement des glaciers.

Notion de couche limite

Régime dépendant du temps : \(\delta = \sqrt{\nu t} = \sqrt{\nu x/U}\), épaisseur de la couche limite au voisinage d'un obstacle.

Nombre de Reynolds

Expérience (écoulements).

• Paramètres pertinents v, ρ, η, R : \(Re = \dfrac{\rho vR}{\eta}\) ; ordres de grandeur : v = 1 cm/s, Re = 100, laminaire ; v = 1 m/s, Re > 1 000, turbulent.
• Signification physique : rapport du terme convectif au terme diffusif.
• Loi de similitude (et du temps).

Conclusion

Fluides non newtoniens, dont η(v) n'est pas constante : la Maïzena.

Bibliographie

• Tec & Doc, PC-PC*
• H-Prépa, Mécanique des fluides PC
• Hulin, Hydrodynamique