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Leçon de physique n°9 (agrégation 2011) :
Modèle de l'écoulement parfait d'un fluide. Validité. Relation de Bernoulli. Limites et applications.
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 2 pages).
Remarques du jury
Passer rapidement sur l'équation d'Euler ; parler de viscosité ; distinguer fluide parfait (incompressible) et écoulement parfait ; discuter les conditions aux limites.
Prérequis
Cinématique des fluides, viscosité.
Notion d'écoulement parfait
Écoulement parfait
Si et seulement si tous les phénomènes de transport diffusif sont négligeables : viscosité et diffusion thermique ; l'écoulement est alors adiabatique et réversible, donc isentropique.
Conditions aux limites
Avec η = 0 : \(\vec{v}\cdot\vec{n} = 0\) (au lieu de \(\vec{v}\wedge\vec{n} = \vec{0}\)) : vitesse de glissement non nulle à la paroi.
Couche limite
\(\|\rho(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\| \approx \|\eta\Delta\vec{v}\|\) au bord de la couche limite : \(\rho\dfrac{v^2}{L} = \eta\dfrac{v}{\delta^2}\), d'où \(\dfrac{\delta}{L} = \dfrac{1}{\sqrt{Re}}\) : la diffusion ne se propage pas sur L ; application numérique δ ≈ 1,2 mm.
Équation de Bernoulli
Équation d'Euler pour un écoulement incompressible
Selon \(\vec{u}_i\) : \(\rho\left(\dfrac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\dfrac{\partial v_i}{\partial x_j}\right) = -\dfrac{\partial P}{\partial x_i} + \rho f_i\) (indice répété : sommation).
Bilan énergétique
Énergie cinétique volumique \(e_c = \rho v^2/2\) : \(\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\rho v^2}{2}\right) = -\operatorname{div}\left[\vec{v}\left(\dfrac{\rho v^2}{2} + P\right)\right] + \rho\vec{v}\cdot\vec{f}\) (avec \(\operatorname{div}\vec{v} = 0\)).
Relation de Bernoulli
En régime stationnaire et si \(\vec{f} = -\vec{\nabla}\varphi\) (non dissipatif) : \(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(\dfrac{\rho v^2}{2} + P + \rho\varphi\right) = 0\), donc le long d'une ligne de courant \(\dfrac{\rho v^2}{2} + P + \rho\varphi\) est constante.
Applications
- Tube de Pitot : point d'arrêt \(v_S = 0\), \(P_0 + \dfrac{\rho U^2}{2} = P_{A'} + \dfrac{\rho v_{A'}^2}{2} = P_A + \dfrac{\rho v_A^2}{2}\) ; continuité de la pression (Couette plan, ΔP = 0) ; tube petit pour éviter les allers-retours ; manomètre différentiel. Expérience.
- Effet Venturi : ρ constante donc débit constant, \(v_1S_1 = v_2S_2\) avec \(v_2 \gg v_1\) : \(P_2 - P_1 = \dfrac{\rho v_1^2}{2}\left(1 - \left(\dfrac{S_1}{S_2}\right)^2\right)\), dépression. Expériences : feuilles de papier, trompe à eau en chimie.
- Effet Magnus : cylindre en rotation, \(v_2 > v_1\) d'où \(P_2 < P_1\) et une force ; trajectoire du ballon brossé.
- Portance des avions (si le temps le permet) : analogue à l'effet Magnus mais due à la diffusion.
Bibliographie
- Hulin, Hydrodynamique
- H-Prépa, Mécanique des fluides PC
- Tec & Doc, PC-PC*
