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Leçon de physique n°24 (agrégation) :
Induction électromagnétique. Aspects énergétiques. Applications (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 13 pages).

Prérequis

Champ électromagnétique, équations de Maxwell, force de Lorentz. On se place dans l'approximation des régimes quasi permanents (ARQP).

Introduction

Faraday découvre l'induction en étudiant l'action réciproque entre circuits électriques et aimants ; on la retrouve dans tout le domaine de l'électrotechnique.

Le phénomène d'induction

Mise en évidence expérimentale

• Démarche de Faraday : un aimant approché d'une bobine reliée à un oscilloscope fait apparaître une impulsion, plus grande si l'on va plus vite ; rien si l'aimant est immobile ; impulsion opposée si on l'éloigne ou si l'on inverse ses pôles. Un circuit parcouru par un courant peut remplacer l'aimant.
• Le flux du champ magnétique à travers les spires varie : loi de Faraday \(e = -\dfrac{d\Phi}{dt}\).
• Un seul phénomène, deux points de vue (circuit mobile ou champ variable).

Loi de modération de Lenz

Elle traduit le signe moins de la loi de Faraday : en approchant le pôle nord de l'aimant, la bobine présente une face nord à l'aimant. Le courant induit tend à s'opposer aux causes qui lui ont donné naissance.

Théorie de l'induction

Notion de force électromotrice

Le déplacement des charges dans une portion de circuit suppose une force \(\vec{F}_m\) : \(e_{AB} = \dfrac{1}{q}\displaystyle\int_A^B\vec{F}_m\cdot d\vec{\ell}\), et pour un circuit fermé \(e = \dfrac{1}{q}\displaystyle\oint\vec{F}\cdot d\vec{\ell}\). La « force » électromotrice est en fait une tension.

Induction de Lorentz : circuit mobile dans un champ permanent

Avec \(\vec{F} = q\vec{v}\wedge\vec{B}\) et \(\vec{v} = \vec{v}_r + \vec{v}_e\) : \(e = \oint(\vec{v}_e\wedge\vec{B})\cdot d\vec{\ell} = -\dfrac{d\Phi_c}{dt}\) (flux coupé), champ électromoteur de Lorentz \(\vec{E}_L = \vec{v}_e\wedge\vec{B}\).

Induction de Neumann : circuit fixe dans un champ variable

Par Maxwell-Faraday, \(\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V - \dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}\) ; sur un circuit fermé, \(e = -\dfrac{\partial}{\partial t}\oint\vec{A}\cdot d\vec{\ell} = -\dfrac{d\Phi}{dt}\), avec \(\vec{E}_N = -\dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}\).

Cas général

Les deux cas se superposent : \(e = \oint\vec{E}_m\cdot d\vec{\ell}\) avec \(\vec{E}_m = \vec{v}_e\wedge\vec{B} - \dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}\) ; pour un circuit fermé sans discontinuité de vitesse, \(e = -\dfrac{d\Phi}{dt}\) (flux coupé et variation de \(\vec{B}\)). Conséquence pour un circuit : loi d'Ohm généralisée.

Aspect énergétique : l'auto-induction

• Le courant \(i(t)\) d'un circuit filiforme crée son propre flux \(\Phi_p = Li\) (\(L\) : inductance propre), d'où une fem d'auto-induction \(e = -L\dfrac{di}{dt}\) et \(V_A - V_B = Ri + L\dfrac{di}{dt}\).
• Établissement du courant dans une bobine : \(\displaystyle\int_0^t Ei\,dt = \int_0^t Ri^2\,dt + \int_0^I Li\,di\) : énergie fournie par le générateur, perdue par effet Joule et emmagasinée.
• Énergie magnétique : \(W_m = \tfrac{1}{2}LI^2\), généralisée en \(W_m = \displaystyle\iiint\dfrac{B^2}{2\mu_0}d\tau\).

Applications

Le transformateur

• Inductance mutuelle de deux circuits fixes : \(\Phi_{1\to2} = Mi_1\), \(\Phi_{2\to1} = Mi_2\) ; flux totaux \(\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2\) et \(\Phi_2 = L_2i_2 + Mi_1\).
• Circuit ferromagnétique canalisant les lignes de champ entre \(N_1\) et \(N_2\) spires. En régime sinusoïdal et secondaire ouvert, rapport de transformation \(\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{N_2}{N_1} = m\).
• Bilan énergétique : \(W_m = \tfrac{1}{2}L_1i_1^2 + Mi_1i_2 + \tfrac{1}{2}L_2i_2^2\).

L'alternateur

Expérience : un aimant entraîné par un moteur devant une bobine de 1 000 spires reliée à un oscilloscope : tension alternative de fréquence égale à la fréquence de rotation ; quand la rotation s'accélère, la fréquence et l'amplitude augmentent.

Courants de Foucault

• Expérience : un pendule métallique oscillant entre les pôles d'un électroaimant est freiné dès que l'on alimente les bobines, beaucoup moins s'il est feuilleté.
• Explication : les charges du pendule en mouvement subissent \(q\vec{v}\wedge\vec{B}\), d'où des courants de Foucault et des forces de Laplace opposées à la vitesse, conformément à la loi de Lenz.
• Inconvénient : pertes par effet Joule, minimisées en feuilletant les matériaux. Avantages : plaques à induction, freins électromagnétiques.

Conclusion

Applications très diverses : chargeurs, pinces ampèremétriques, haut-parleurs. Par auto-induction, un circuit peut avoir une influence sur lui-même.

Remarques

• ARQP : évolution assez lente pour négliger la propagation (dimensions du circuit petites devant la longueur d'onde) ; Maxwell-Ampère se réduit à \(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\vec{j}\).
• Changement de référentiel : \(\vec{E}' = \vec{E} + \vec{v}_e\wedge\vec{B}\), valable si \(v_e \ll c\).
• Effet de peau : le courant est plus important en périphérie du fil qu'au centre.
• En induction, être pointilleux sur le sens du courant, à préciser.

Bibliographie

• H-Prépa, Électromagnétisme MP 2^e année
• Pérez, Électromagnétisme
• Faroux, Renault, Électromagnétisme 2
• Polycopié de TP de l'agrégation