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Leçon de physique n°25 (agrégation) :
Systèmes bouclés, transmittance, stabilité. Applications aux asservissements (PSI).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Introduction

Les systèmes électroniques se classent en systèmes en boucle ouverte et systèmes bouclés, qui permettent le suivi d'une consigne. On étudie les avantages de la rétroaction et les propriétés des systèmes linéaires bouclés.

Nécessité des systèmes bouclés

Insuffisance de la boucle ouverte

Commande de la vitesse d'un moteur : on applique une tension calculée à partir des caractéristiques du moteur et du système de commande. Mais des perturbations extérieures modifient la vitesse sans que la commande en soit informée : ces systèmes sont peu stables et manquent de fidélité.

Commande en boucle fermée : asservissements

Une boucle de rétroaction compare la grandeur d'entrée \(e\) à la grandeur ramenée \(r\), qui dépend de la sortie : on évalue en permanence l'écart \(\varepsilon = e - r\) (grandeur d'erreur). Si la sortie augmente, \(r\) augmente, \(\varepsilon\) et donc la sortie diminuent : c'est la régulation.

Fonction de transfert d'un système bouclé

Structure d'un système asservi

Chaîne directe (comparateur, correcteur, amplificateur, actionneur, organe asservi) et chaîne de retour (capteur).

Hypothèse des systèmes linéaires

\(s = \mu(j\omega)\,\varepsilon\) et \(r = \beta(j\omega)\,s\), \(\mu\) et \(\beta\) étant les transmittances des chaînes directe et de retour.

Fonction d'asservissement

• Système en boucle fermée : \(H(j\omega) = \dfrac{s}{e} = \dfrac{\mu}{1 + \beta\mu}\) ; transmittance en boucle ouverte \(T(j\omega) = \dfrac{r}{\varepsilon} = \beta\mu\). Si \(\beta = 1\), système bouclé à retour unitaire ; \(1 + \beta\mu\) est le taux de contre-réaction.
• \(|1 + \beta\mu| > 1\) : contre-réaction ; si \(\beta\mu \gg 1\), \(H \approx 1/\beta\) ne dépend plus que de la chaîne de retour, en général des résistances connues avec précision et stables en température.
• \(|1 + \beta\mu| < 1\) : réaction positive, \(|H| > |\mu|\), risque d'instabilité ; \(\beta\mu = -1\) : gain infini, oscillateur.

Exemple : amplificateur non inverseur

• \(H = \dfrac{\mu_0}{1 + \beta\mu_0}\) avec \(\beta = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\). Comme \(\mu_0 > 10^6\), \(\beta\mu_0 \gg 1\) dès que \(\beta > 10^{-3}\) : \(H \approx 1 + \dfrac{R_2}{R_1}\) et \(\varepsilon \to 0\) en régime linéaire.
• Manipulation : vérifier le gain en fonction de \(R_1\) et \(R_2\) (si \(R_1\) double, l'amplification diminue de moitié) à l'oscilloscope numérique : la fonction de transfert ne dépend que de la chaîne de retour.

Conséquences de la boucle de retour

Élargissement de la bande passante

Chaîne directe du premier ordre \(\mu = \dfrac{\mu_0}{1 + j\omega/\omega_c}\) (vrai pour les AO, \(f_c \approx 10\) Hz) et \(\beta\) réel : \(H = \dfrac{\mu_0'}{1 + j\omega/\omega_c'}\), avec \(\mu_0' = \dfrac{\mu_0}{1 + \beta\mu_0}\) et \(\omega_c' = (1 + \beta\mu_0)\omega_c\). Le système reste du premier ordre et le produit amplification × bande passante est constant (diagramme de Bode).

Relation bande passante - constante de temps

En remplaçant \(j\omega\) par \(d/dt\) : \(\tau = 1/\omega_c\) pour la chaîne directe et \(\tau' = \dfrac{\tau}{1 + \beta\mu_0}\) pour le système bouclé, plus rapide. Mais le gain diminue : il faut trouver un compromis.

Stabilité : justification des montages à AO

Bouclage sur l'entrée inverseuse : stable. Bouclage sur l'entrée non inverseuse : \(\dfrac{s}{e} = \dfrac{-\mu_0}{1 - \dfrac{\mu_0R_1}{R_1 + R_2}}\) ; comme \(\dfrac{\mu_0R_1}{R_1 + R_2} > 1\), le système est instable (régime non linéaire : comparateur à hystérésis).

Propriétés des systèmes bouclés

Stabilisation vis-à-vis des variations des chaînes directe et de retour

• Variation \(d\mu\) de la chaîne directe : \(\dfrac{dH}{H} = \dfrac{d\mu}{\mu}\,\dfrac{1}{1 + \beta\mu}\) ; si \(|\beta\mu| \gg 1\), \(H\) ne dépend plus des éléments de la chaîne directe.
• Variation \(d\beta\) de la chaîne de retour : \(\dfrac{dH}{H} \approx -\dfrac{d\beta}{\beta}\) : \(H\) est très sensible à la chaîne de retour, qui doit être précise.

Diminution de l'influence des perturbations

Perturbation \(e_p\) entre deux étages \(\mu_1\) et \(\mu_2\) : \(s = \dfrac{\mu_1\mu_2}{1 + \beta\mu_1\mu_2}e + \dfrac{\mu_2}{1 + \beta\mu_1\mu_2}e_p\), contre \(s = \mu_1\mu_2e + \mu_2e_p\) en boucle ouverte : la rétroaction divise l'influence des perturbations par \(1 + \beta\mu_1\mu_2\). Le signal d'entrée étant réduit du même facteur, le rapport signal/perturbation est inchangé.

Conclusion

Les systèmes bouclés permettent de respecter la consigne même en présence de perturbations.

Bibliographie

• Taupe niveau : électronique et conversion de puissance
• Quaranta, Dictionnaire de physique expérimentale, tome III
• Delacressonnière, Électronique 2^e année, Tec & Doc