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Leçon de physique n°26 (agrégation) :
Traitement d'un signal électrique : filtrage linéaire. Exemples et applications (PSI).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 22 pages).

Remarques du jury

Illustrer concrètement les notions d'intégration, de dérivation et de filtrage.

Prérequis

Les différents filtres (passe-haut, passe-bas, passe-bande), construction des diagrammes de Bode, calcul de fonctions de transfert.

Introduction

Avec les montages à amplificateur opérationnel, l'atténuation des signaux à haute fréquence apparaissait comme un défaut. Le filtrage est au contraire un traitement du signal très utilisé, en télécommunications (émetteurs radio, télévision) ou pour l'analyse spectrale.

Rappels : généralités sur le filtrage linéaire

• Filtrer, c'est trier : en électricité, éliminer certaines fréquences. Un filtre est un quadripôle linéaire dont l'entrée \(e(t)\) et la sortie \(s(t)\) sont liées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
• En régime sinusoïdal (ou par décomposition de Fourier), la fonction de transfert \(\underline{H}(j\omega) = \dfrac{\underline{s}_m}{\underline{e}_m} = \dfrac{N(j\omega)}{D(j\omega)}\) est un quotient de polynômes ; pour un système stable, l'ordre du filtre est celui du dénominateur.
• Diagramme de Bode : \(G_{dB} = 20\log|H|\) et \(\arg H\). Cinq types : passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande, passe-tout. Bande passante à −3 dB : \(|H| \ge |H_{max}|/\sqrt{2}\).
• Filtre parfait : transmet sans déformation dans sa bande passante (module et phase indépendants de la fréquence), élimine le reste. Aucun filtre réel n'est parfait, mais il s'en rapproche quand son ordre augmente.

Application au traitement d'un signal électrique

Filtrage passe-bas

• Passe-bas passif du premier ordre (composants passifs, puissance de sortie inférieure à celle d'entrée), \(R = 10\) kΩ, \(C = 10\) nF : \(\underline{H} = \dfrac{1}{1 + j\omega/\omega_0}\), \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi RC} \approx 1{,}59\) kHz, −3 dB et −45° à la coupure, pente −20 dB/décade au-delà.
• Étude expérimentale : coupure repérée par le déphasage de 45° (\(f_c \approx 1{,}6\) kHz, \(V_s = 70\,\%\,V_e\)) ; à haute fréquence, un créneau en entrée donne un triangle en sortie : intégration.
• Influence d'une charge \(R_c = R\) : \(\underline{H} = \dfrac{1}{2 + jRC\omega}\) ; la fréquence de coupure double (3,2 kHz) et le gain en basse fréquence est divisé par 2 (−6 dB). Les propriétés des filtres passifs dépendent de leur charge : on utilise des filtres actifs.
• Passe-bas actif du premier ordre : RC suivi d'un suiveur (adaptation d'impédance), ou montage inverseur avec \(R'\) et \(C\) en contre-réaction, \(\underline{H} = -\dfrac{R'}{R}\,\dfrac{1}{1 + jR'C\omega}\) : réponse indépendante de la charge et amplification possible en basse fréquence.
• Démodulation par détection d'enveloppe : signal modulé par un multiplieur analogique (\(f_m = 5\) kHz, porteuse 200 kHz) ; redressement par une diode puis filtrage par deux passe-bas RC en cascade (\(f_c \approx 16\) kHz). Le spectre (FFT) montre l'atténuation de la porteuse, d'environ 20 dB puis 40 dB : les gains en dB des deux filtres s'ajoutent.

Filtrage passe-bande passif du second ordre

• Montage RLC série, sortie aux bornes de \(R\) (\(R = 500\) Ω, \(L = 0{,}1\) H, \(C = 0{,}1\) µF).
• Analyse théorique : \(\underline{H} = \dfrac{1}{1 + jQ\left(\dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}\), \(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) (\(f_0 \approx 1{,}6\) kHz), \(Q = \dfrac{L\omega_0}{R}\) ; asymptotes ±20 dB/décade. En faisant varier \(R\), \(Q\) change : plus \(Q\) est grand, plus la bande passante \(\Delta\omega = \omega_0/Q\) est étroite et le filtre sélectif.
• Analyse expérimentale par wobbulation : sortie du filtre et signal de balayage du GBF sur l'oscilloscope en mode XY ; on arrête le balayage à la résonance, \(f_{0,exp} \approx 1{,}6\) kHz.
• Applications : émetteurs et récepteurs radio et télévision, analyseurs de spectre analogiques (filtre très sélectif à fréquence centrale variable).

Caractère intégrateur et dérivateur d'un filtre

Caractère intégrateur

• Passe-bas en haute fréquence (pseudo-intégrateur) : \(RC\dfrac{dv_s}{dt} + v_s = v_e\) ; si \(RC\omega \gg 1\), \(v_s \approx \dfrac{1}{RC}\displaystyle\int v_e\,dt\). Un créneau (harmoniques impaires en \(1/(2n+1)\)) donne des droites de pente \(\pm V_0/RC\).
• Généralisation : pour qu'un filtre intègre un signal périodique de valeur moyenne nulle, il doit déphaser de −π/2 et avoir une pente de −20 dB/décade sur toutes les harmoniques utiles (passe-bas du premier ordre, passe-bande du second ordre au-delà de la coupure haute).
• Montage intégrateur à AO : \(v_s = -\dfrac{1}{RC}\displaystyle\int v_e\,dt\) ; en pratique, une résistance \(R'\) en parallèle sur \(C\) supprime la dérive due aux défauts de l'AO (tension de décalage, courants de polarisation) ; avec \(R' = 1\) MΩ et \(C = 0{,}1\) µF, intégration au-delà de 100 Hz.

Caractère dérivateur

• Passe-haut RC en basse fréquence (pseudo-dérivateur, \(f_c \approx 1{,}6\) kHz) : un triangle de 100 Hz donne en sortie un créneau de très faible amplitude, \(v_s \approx RC\dfrac{dv_e}{dt}\).
• Conditions : déphasage de +π/2 et pente de +20 dB/décade. La condition est plus contraignante que pour l'intégrateur : toutes les harmoniques importantes (jusqu'à la dixième environ) doivent être sous la coupure, soit \(f_0 < f_c/100\).
• Avec un filtre résonant (RLC), un facteur de qualité élevé amplifie les harmoniques d'ordre élevé et provoque des oscillations amorties : un bon dérivateur a un \(Q\) petit.
• Montage dérivateur à AO : \(v_s = -RC\dfrac{dv_e}{dt}\) ; la bande passante limitée de l'AO en fait un passe-bande de fort \(Q\), corrigé par une résistance \(R'\) en série avec \(C\), réglée pour qu'un triangle donne un créneau propre.

Conclusion

Le filtrage, la dérivation et l'intégration ont de nombreuses applications en télécommunications et dans les appareils de mesure (couplage AC de l'oscilloscope, analyseur de spectre, convertisseurs). Le filtrage existe aussi dans d'autres domaines : filtres colorés en optique, filtrage spatial en strioscopie.

Bibliographie

• H-Prépa, Électronique I, 1^re année
• H-Prépa, Électronique I, 2^e année
• Duffait, Expériences d'électronique
• Polycopié de TP de l'agrégation de Rennes