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Leçon de physique n°27 (agrégation) :
Étude macroscopique de la polarisation, du champ \(\vec{E}\) et du vecteur \(\vec{D}\) dans les milieux diélectriques (PC).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 9 pages).

Prérequis

Électromagnétisme dans le vide et dans les conducteurs (charges libres, courant).

Introduction

Expérience : une règle frottée attire des morceaux de papier. Comment un matériau isolant peut-il présenter des propriétés proches de celles d'un conducteur ?

Première approche : étude du condensateur

Rappel

Condensateur plan d'aire \(A\) et d'épaisseur \(d\) : \(C = \dfrac{\varepsilon_0A}{d}\), \(Q = CV\).

Expérience : condensateur d'Aepinus

Condensateur chargé sous 3 000 V puis isolé : les feuilles de l'électroscope s'écartent. En introduisant un carton, elles se rapprochent : \(V\) a diminué et \(C\) augmenté. Au capacimètre : environ 123 pF dans l'air, 565 pF avec le carton.

Interprétation

• La charge de surface vue de l'extérieur a diminué sans s'annuler : il apparaît sur le diélectrique des charges de signe opposé à celles de l'armature.
• Aspect microscopique : sous l'action du champ, les barycentres des charges positives et négatives ne sont plus confondus, d'où un moment dipolaire microscopique. En volume les charges se compensent, mais il reste des charges surfaciques.

Polarisation dans les milieux

Définition

• Diélectrique : milieu neutre et isolant, à charges liées, qui donne sous l'action d'un champ des dipôles microscopiques.
• Vecteur polarisation : \(\vec{P} = \sum\vec{p}_i\) (distribution discrète) ou \(\vec{P} = \dfrac{d\vec{p}}{d\tau}\) (distribution continue), en C/m² ; grandeur macroscopique, moyenne locale sur \(d\tau\) de l'ordre de quelques nanomètres.
• Validité : le temps de traversée de \(d\tau\) par l'onde correspond à une fréquence de l'ordre de \(10^{16}\) Hz : le formalisme vaut aux fréquences optiques et en deçà, pas pour les rayons X qui voient l'aspect discret de la matière.

Potentiel créé

• \(V(M) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\displaystyle\oiint\dfrac{\vec{P}\cdot d\vec{S}}{r} + \iiint\dfrac{-\operatorname{div}\vec{P}}{r}\,d\tau\right)\) : distribution équivalente de charges liées \(\rho_{pol} = -\operatorname{div}\vec{P}\) et \(\sigma_{pol} = \vec{P}\cdot\vec{n}\).
• Exemple : sphère polarisée radialement (\(\vec{P} = P\vec{e}_r\)) : \(\rho_{pol} = -2P/r\), \(\sigma_{pol} = P\), charge globale nulle. Par le théorème de Gauss, \(\vec{E}_{ext} = \vec{0}\) et \(\vec{E}_{int} = -\vec{P}/\varepsilon_0\), d'où \(V_{int} = \dfrac{P}{\varepsilon_0}(r - R)\).

Équation de Maxwell-Gauss

• \(\operatorname{div}\vec{E} = \dfrac{\rho_{libre} - \operatorname{div}\vec{P}}{\varepsilon_0}\), d'où \(\operatorname{div}\vec{D} = \rho_{libre}\) avec \(\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}\) (densité de flux électrique), relié aux charges libres fixées par l'expérimentateur.
• Relations de passage à l'interface : \(D_{N2} - D_{N1} = \sigma_{libre}\), \(\vec{E}_{T2} - \vec{E}_{T1} = \vec{0}\).
• Densité d'énergie : \(u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0E^2\) dans le vide, \(u = \tfrac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}\) dans un diélectrique.

Milieux linéaires

• Polarisation induite \(\vec{P} = \varepsilon_0[\chi_e]\vec{E}\), tenseur de susceptibilité (matrice 3 × 3 symétrique) ; pour un milieu isotrope et homogène, \(\chi_e\) est un scalaire sans dimension.
• \(\vec{D} = \varepsilon_0(1 + \chi_e)\vec{E} = \varepsilon\vec{E}\), \(\varepsilon_r = \varepsilon/\varepsilon_0\) constante diélectrique du matériau.
• Régime dynamique : pour \(\vec{E} = \vec{E}_0\cos\omega t\), \(\vec{P}\) suit avec un retard ; en notation complexe \(\underline{\chi} = \chi' + j\chi''\) et \(\underline{\varepsilon} = \varepsilon' + j\varepsilon''\).

Retour sur le condensateur

Problème initial

• Charges équivalentes : \(\vec{P}\) uniforme, donc \(\rho_{pol} = 0\) et \(\sigma_{p1} = -\sigma_p\), \(\sigma_{p2} = +\sigma_p\) ; elles créent le champ dépolarisant \(\vec{E}_d = -\vec{P}/\varepsilon_0\) et le champ total \(\vec{E} = \vec{E}_0 - \vec{P}/\varepsilon_0\), qui définit \(\chi_e\).
• Le champ imposé crée \(\vec{P}\), donc des charges de polarisation et un champ dépolarisant : la matière modifie les sources auxquelles elle est soumise.
• Relation entre charges : \(\sigma_p = \left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)\sigma_\ell < \sigma_\ell\).
• Capacité : à charge fixée, \(E = E_0/\varepsilon_r\) et \(V = V_0/\varepsilon_r\), donc \(C = \varepsilon_rC_0\). Avec les mesures de l'expérience, \(\varepsilon_r \approx 4{,}59\) pour le carton.

Principe d'itération

Sphère diélectrique dans un champ uniforme : champ dépolarisant \(\vec{E}_d = -\dfrac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\) (en général \(-D\vec{P}/\varepsilon_0\), \(D\) facteur dépolarisant). En itérant (milieu dilué, \(\chi_e \ll 1\)) : \(\vec{P} = \varepsilon_0\chi_e\left(1 - \dfrac{\chi_e}{3} + \dots\right)\vec{E}_0 = 3\varepsilon_0\dfrac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2}\vec{E}_0\).

Conclusion

Cette leçon introduit les leçons sur les milieux magnétiques, de même formalisme mais plus délicats à mettre en œuvre ; les milieux magnétiques restent plus utilisés.

Bibliographie

• Feynman, Électromagnétisme 1
• Bertin, Faroux, Renault, Électromagnétisme 4 (ancienne édition)
• Garing, Ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques
• Latour, Leçons d'électromagnétisme à l'agrégation
• Polycopié de TP de l'agrégation