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Leçon de physique n°28 (agrégation) :
Utilisation des propriétés de symétrie dans l'étude des champs électromagnétiques. Exemples (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Remarques du jury

Les exposés manquent souvent de profondeur ; le principe de Curie doit être mentionné, justifié et appliqué à des cas divers, après avoir justifié les propriétés de symétrie des champs E et B. Ne pas se restreindre aux plans de symétrie et d'antisymétrie : penser aux rotations discrètes (cristallographie, chimie), aux dilatations, à la symétrie des termes multipolaires, et à des exemples d'ondes électromagnétiques (ondes planes, dipôles rayonnants). Les conséquences du renversement du sens du temps peuvent être évoquées.

Prérequis

Lois de l'électrostatique et de la magnétostatique, équations de Maxwell sous forme locale et intégrale. Idée directrice : le principe de Curie, les champs ont au moins les symétries des sources.

Introduction

\(\vec{E}\) est créé par une distribution de charges, \(\vec{B}\) par une distribution de courants. L'étude préalable des symétries et invariances des sources est indispensable pour appliquer les théorèmes de Gauss ou d'Ampère, et allège considérablement les calculs. Cas des champs stationnaires puis variables.

Principe de Curie

Énoncé

Lorsque les sources ont des propriétés de symétrie, les champs qui en résultent les ont aussi : les champs ont au moins les symétries des sources.

Application en électrostatique : plans de symétrie et d'antisymétrie

• Pour deux points \(P\) et \(P'\) symétriques par rapport à un plan (\(\varepsilon = +1\) pour une symétrie, \(-1\) pour une antisymétrie de la distribution de charges) : \(V(P') = \varepsilon V(P)\) et \(d\vec{E}(P') = \varepsilon\,\operatorname{sym}(d\vec{E}(P))\).
• Corollaires : en tout point d'un plan de symétrie, \(\vec{E}\) est contenu dans ce plan ; en tout point d'un plan d'antisymétrie, il lui est perpendiculaire ; en un centre de symétrie, il est nul ; sur un axe de symétrie, il est dirigé selon cet axe.

Exemples en magnétostatique

• Rappels sur la symétrie d'un vecteur : \(\operatorname{sym}(\vec{A})\wedge\operatorname{sym}(\vec{B}) = -\operatorname{sym}(\vec{A}\wedge\vec{B})\).
• Distribution de courants : \(\vec{j}' = \varepsilon\,\operatorname{sym}(\vec{j})\). On montre \(d\vec{A}(P') = \varepsilon\,\operatorname{sym}(d\vec{A}(P))\) mais \(d\vec{B}(P') = -\varepsilon\,\operatorname{sym}(d\vec{B}(P))\) : \(\vec{A}\) est un vecteur polaire, \(\vec{B}\) un vecteur axial.
• Un plan de symétrie des courants est un plan d'antisymétrie pour \(\vec{B}\), et inversement. En un point d'un plan de symétrie, \(\vec{A}\) est dans le plan et \(\vec{B}\) perpendiculaire ; sur un axe de symétrie, \(\vec{B} = \vec{0}\) et \(\vec{A}\) est porté par l'axe ; en un centre de symétrie, \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) sont nuls.
• Si le champ est dans un plan, deux plans sont nécessaires pour définir sa direction.

Champs créés par des distributions stationnaires particulières

Symétrie de révolution : fil rectiligne

• Fil chargé : \(\vec{E} = E_r\vec{e}_r\) ; théorème de Gauss sur un cylindre, \(E_r = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\) et \(V = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r_0}{r}\).
• Fil parcouru par un courant : théorème d'Ampère sur un cercle, \(\vec{B} = \dfrac{\mu_0i}{2\pi r}\vec{e}_\theta\) ; \(\vec{A}\) selon le fil, \(\vec{A} = -\dfrac{\mu_0i}{2\pi}\ln\dfrac{r}{r_0}\vec{e}_z\).

Symétrie plane : relations de passage

\(\vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n}_{12}\) et \(\vec{B}_2 - \vec{B}_1 = \mu_0\vec{j}_s\wedge\vec{n}_{12}\).

Symétrie sphérique

Boule radioactive de charge \(Q(r,t)\) : \(\vec{E}\) radial, \(\vec{E} = \dfrac{Q(r,t)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e}_r\). Tous les plans contenant le rayon sont des plans de symétrie pour \(\vec{j}\), donc \(\vec{B} = \vec{0}\) ; Maxwell-Ampère donne \(\vec{0} = \mu_0\vec{j} + \varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}\), cohérent avec la conservation de la charge.

Cas des ondes électromagnétiques : dipôle rayonnant

Tout plan contenant l'axe du dipôle et le point M est un plan de symétrie pour les charges : \(\vec{E} = E\vec{e}_\theta\) appartient au plan et \(\vec{B} = B\vec{e}_\varphi\) lui est perpendiculaire. Loin du dipôle, on retrouve localement la structure d'une onde plane, \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation.

Symétrie discrète en chimie : la RMN du proton

La RMN étudie l'effet du dipôle magnétique du proton selon son environnement dans la molécule ; les symétries de la molécule définissent des protons équivalents. Exemple : CH₃–CH(OCH₃)₂ : doublet peu déblindé (3 H voyant 1 H), quadruplet très déblindé (1 H voyant 3 H, proche des oxygènes), singulet (6 H équivalents des groupes OCH₃) ; règle des \(n + 1\).

Conclusion

Les symétries des sources permettent de remonter à celles des champs et d'appliquer facilement les théorèmes de Gauss et d'Ampère ; les invariances doivent compléter ces informations pour déterminer exactement champs et potentiels. Généralisation à d'autres branches de la physique ; limites : il faut souvent revenir aux calculs de base et aux méthodes numériques.

Bibliographie

• Pérez, Électromagnétisme, 4^e édition
• E. Hecht, Physique, De Boeck
• Feynman, Électromagnétisme 1, Dunod