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Leçon de physique n°29 (agrégation) :
Exemples simples de phénomènes de propagation unidimensionnels. Ondes progressives, ondes stationnaires, aspects énergétiques (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 5 pages).

Remarques du jury

Illustrer les notions d'ondes progressives et stationnaires par des exemples avec des ondes mécaniques ou électromagnétiques. Distinguer l'onde stationnaire de l'onde stationnaire résonante dans un système fermé.

Prérequis

Équations de Maxwell, énergie électromagnétique. Objectifs : établir l'équation de d'Alembert et analyser ses solutions ; montrer qu'il y a propagation d'énergie sans déplacement de matière.

Introduction

Les phénomènes de propagation sont très courants : ondes sonores quand nous parlons, ondes électromagnétiques des télécommunications. On étudie deux exemples, la corde vibrante et les ondes électromagnétiques.

Équation d'onde unidimensionnelle

La corde vibrante

• Hypothèses : corde fortement tendue (poids négligé), parfaitement souple, mouvement plan, déplacements transverses de faible amplitude, amortissement négligé.
• PFD sur un élément \(\delta x\) de masse linéique \(\mu\) : la projection sur \(Ox\) donne une tension \(T\) uniforme, celle sur \(Oy\) donne \(\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} - \dfrac{\mu}{T}\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} = 0\) : le couplage spatio-temporel est à l'origine de la propagation.

Ondes électromagnétiques dans le vide

Équations de Maxwell sans charges : \(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{E}\) donne \(\dfrac{\partial^2\vec{E}}{\partial x^2} - \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}\).

Généralisation

Équation de d'Alembert \(\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = 0\), \(c\) étant une vitesse : \(c = \sqrt{T/\mu}\) pour la corde, \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3\cdot10^8\) m/s pour les ondes électromagnétiques. Ordres de grandeur : corde en nylon (\(\mu = 1\) g/m, \(T = 1\) N) environ 32 m/s ; corde de piano (\(\mu = 22{,}6\) g/m, \(T = 3\,000\) N) environ 364 m/s.

Solutions de l'équation d'onde

Solution générale

\(\psi(x,t) = f(t - x/c) + g(t + x/c)\) ; à \(t\) fixé, \(\psi\) est constant dans un plan \(x = \text{cte}\) : onde plane. Interprétation : \(f\) décrit un ébranlement qui se déplace sans déformation à la vitesse \(c\) vers les \(x\) croissants (onde progressive), \(g\) une onde progressive vers les \(x\) décroissants.

Cas particuliers

• Onde plane progressive sinusoïdale : \(\psi = A\sin\omega(t - x/c)\), double périodicité temporelle (\(T = 2\pi/\omega\)) et spatiale (\(\lambda = 2\pi/k\), \(k = \omega/c\)).
• Ondes stationnaires : superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie (presque toujours en physique). Avec une extrémité fixe en \(x = 0\) : \(\psi(x,t) = 2A\sin\dfrac{\omega x}{c}\cos\omega t\), découplage de \(x\) et \(t\) ; amplitude variant dans l'espace.
• Expérience de Melde : un vibreur impose \(\psi(L,t) = b\cos\omega t\), d'où \(\psi(x,t) = \dfrac{b}{\sin(\omega L/c)}\sin\dfrac{\omega x}{c}\cos\omega t\). Sans frottements l'amplitude serait infinie pour \(\omega_n = \dfrac{n\pi c}{L}\), soit \(L = n\lambda/2\) : pulsations de résonance, accord entre la longueur de la corde et la pulsation de l'excitateur.

Aspects énergétiques

Corde vibrante

• Puissance reçue par un élément \(\delta x\) : densité linéique d'énergie \(e = \tfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)^2 + \tfrac{1}{2}T\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2\).
• Onde progressive : \(\dfrac{\partial y}{\partial t} = -c\dfrac{\partial y}{\partial x}\), d'où \(e = T\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2\). Au passage de l'ébranlement, la corde reçoit puis restitue de l'énergie, qui se propage à la vitesse \(c\) : propagation d'énergie sans déplacement de matière.

Ondes électromagnétiques dans le vide

• Onde plane progressive sinusoïdale \(\vec{E} = E_0\cos(\omega t - kx)\vec{e}_y\) : vecteur de Poynting \(\vec{\Pi} = \dfrac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\), \(\langle\vec{\Pi}\rangle = \dfrac{c\varepsilon_0E_0^2}{2}\vec{e}_x\) (les détecteurs mesurent cette moyenne) ; densité d'énergie \(\langle e\rangle = \dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\), et \(\langle\vec{\Pi}\rangle = c\langle e\rangle\vec{e}_x\) : l'onde transporte l'énergie à la vitesse \(c\).
• Onde stationnaire : \(\langle\vec{\Pi}\rangle = \vec{0}\), pas de transport d'énergie.

Conclusion

L'équation de propagation décrit la propagation sans déformation d'une grandeur et le transport d'énergie sans déplacement de matière. Applications : instruments de musique (la longueur du tube fixe la note), analogie optique avec la sélection des fréquences par la cavité d'un Fabry-Pérot.

Remarques

• Vecteur de Poynting de la corde vibrante : \(\vec{\Pi} = -T\dfrac{\partial y}{\partial x}\dfrac{\partial y}{\partial t}\vec{e}_x\).
• Mise en évidence des ébranlements incidents et réfléchis en excitant une fois une corde attachée à l'autre extrémité.
• La tension peut être considérée constante dans le temps car l'allongement de la corde est négligeable.

Bibliographie

• H-Prépa, Ondes
• Bertin, Faroux, Renault, Mécanique des fluides et ondes mécaniques
• Olivier, Gié, Sarmant, Physique spé PC* PC
• Garing, Ondes mécaniques