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Leçon de physique n°3 (agrégation) :
Caractère non galiléen du référentiel terrestre. Conséquences (PCSI ou 1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 5 pages).

Remarques du jury

La différence entre jour sidéral et jour solaire est souvent ignorée. Des exemples moins classiques que la déviation vers l'est ou le pendule de Foucault peuvent être développés : circulation atmosphérique, repérage des courants marins par altimétrie. La mise en évidence de la rotation de la Terre par interférométrie optique peut aussi être abordée.

Prérequis

Mécanique en référentiel non galiléen (vue de façon générale).

Introduction

On applique la relation fondamentale de la dynamique au référentiel terrestre, dont le caractère non galiléen a été prouvé notamment par l'expérience du pendule de Foucault, et l'on étudie ses conséquences pratiques.

La relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre

Mouvement de la Terre dans le référentiel de Copernic

La relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre

\(m\vec{a} = \vec{F}_{ext} + m\vec{g} - 2m\,\vec{\omega}\wedge\vec{v}\) : le terme d'inertie d'entraînement est inclus dans le poids.

Le poids et le champ de pesanteur

Définition expérimentale

Le poids est la force opposée à celle qui maintient un point en équilibre dans le référentiel terrestre (fil à plomb).

Expression de \(\vec{g}\)

En appliquant la RFD à l'équilibre : \(\vec{g} = \vec{\mathcal{A}}_T(P) + \omega^2\,\vec{HP} + \left(\vec{\mathcal{A}}_A(P) - \vec{\mathcal{A}}_A(G)\right)\) : champ gravitationnel terrestre, terme centrifuge (maximal à l'équateur, environ 0,034 m·s^-2) et terme différentiel des astres (environ \(10^{-7} g_0\), à l'origine des marées).

Effets de la force de Coriolis

Présentation

• \(\vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\omega}\wedge\vec{v}\) ; comme \(\|2m\,\vec{\omega}\wedge\vec{v}\| \le 2m\omega v \approx 1{,}5\cdot 10^{-4}\,m v\), le rapport à \(mg\) reste inférieur à 1 % tant que \(v < 700\) m/s : on peut souvent la négliger.
• Décomposition \(\vec{F}_{ic} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\) selon les composantes horizontale et verticale de \(\vec{\omega}\).

Mouvement dans le plan horizontal

Déviation vers la droite dans l'hémisphère nord et vers la gauche dans l'hémisphère sud. Applications : alizés, courants marins, masses nuageuses (sens de rotation des dépressions).

Déviation vers l'est d'un corps en chute libre

Expérience de 1833 dans un puits de mine de 158 m à la latitude 51° : déviation mesurée d'environ 28 mm.

Les marées

Champ des forces de marée dû à un astre

• \(\vec{f}_{marée} = m\left(\vec{\mathcal{A}}_A(P) - \vec{\mathcal{A}}_A(G)\right)\) avec \(\vec{\mathcal{A}}_A(P) = \dfrac{G M_A\,\vec{PA}}{r^3}\).
• Sur l'axe Terre-astre, pour \(a \gg R\) : \(f_{marée} \approx \dfrac{2 m G M R}{a^3}\), même valeur et sens opposé aux deux points diamétralement opposés.
• Comparaison Lune / Soleil : \(\dfrac{f_{Lune}}{f_{Soleil}} = \dfrac{M_L}{M_S}\left(\dfrac{a_S}{a_L}\right)^3 \approx 2{,}2\) : l'effet de la Lune est prépondérant.

Les marées océaniques

• Effet de la Lune seule : deux bourrelets, une marée haute environ toutes les 12 h.
• Effet de la Lune et du Soleil : marées de vives eaux à la nouvelle et à la pleine lune, de mortes eaux aux quartiers.

Conclusion

Certains phénomènes (marées, mouvements des masses d'air) ne s'expliquent que par le caractère non galiléen du référentiel terrestre ; dans beaucoup d'autres cas, il peut être considéré comme galiléen, les forces d'inertie étant négligeables.

Questions possibles

• Détection des marées terrestres : grâce à l'accélérateur du CERN, dont le faisceau varie avec les marées.
• Pourquoi voit-on toujours la même face de la Lune ? Sa rotation propre est synchronisée avec sa révolution, à cause des marées.
• Effet d'un champ de marée sur une comète : effet dislocateur.
• Pourquoi les marées de vives eaux arrivent-elles environ 2 jours après la nouvelle lune ? Déphasage entre la force appliquée et la réponse (phénomène de résonance).
• Variation de \(g\) avec l'altitude : \(g(z) \approx \dfrac{GM}{R^2}\left(1 - \dfrac{2z}{R}\right)\).
• Période du pendule de Foucault : \(T = T_0/\sin\lambda\), environ 32 h à Paris, infinie à l'équateur.
• Théorie statique des marées.

Bibliographie

• Pérez, Mécanique
• Faroux, Renault, Mécanique I
• H-Prépa, Mécanique II
• Gié, Sarmant, Mécanique 1^re année, Tec & Doc