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Leçon de physique n°31 (agrégation) :
Dispersion et absorption d'une onde électromagnétique plane dans un milieu diélectrique. Modélisation microscopique (PC).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 5 pages).

Remarques du jury

On peut présenter le modèle de l'électron élastiquement lié, mais il faut savoir ce que modélise la force élastique.

Introduction

Après la propagation dans le vide à la vitesse \(c\), on étudie la propagation dans un milieu diélectrique, en particulier la dispersion et l'absorption ; on définit vitesses de phase et de groupe, et l'on s'intéresse aux phénomènes microscopiques à l'origine de ces propriétés.

Ondes dans un milieu diélectrique

Position du problème

• Onde plane progressive monochromatique \(\vec{E} = \vec{E}_0e^{i(\omega t - kx)}\) dans un milieu très isolant (sans charges libres) et non magnétique (\(\vec{H} = \vec{B}/\mu_0\)).
• Milieu linéaire, homogène et isotrope : \(\vec{D} = \varepsilon(\omega)\vec{E}\). Les équations de Maxwell sont celles du vide en remplaçant \(\varepsilon_0\) par \(\varepsilon\) : \(\Delta\vec{E} + \omega^2\varepsilon\mu_0\vec{E} = \vec{0}\).

Structure de l'onde : absorption

• Relation de dispersion : \(k^2 = \omega^2\varepsilon(\omega)\mu_0\) ; avec \(\vec{k} = k\vec{u}\), \(\vec{B} = \dfrac{k}{\omega}\vec{u}\wedge\vec{E}\) : structure d'onde plane, mais \(k\) peut être complexe.
• Milieu non absorbant (\(\varepsilon\) réel) : \(k = \dfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_r(\omega)}\), vitesse de phase \(v_\varphi = \dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}\) dépendant de \(\omega\) : dispersion. Indice \(n(\omega) = \sqrt{\varepsilon_r(\omega)}\), \(\lambda = \lambda_0/n\).
• Milieu absorbant (\(\varepsilon = \varepsilon' + i\varepsilon''\)) : \(k = k' - ik''\) avec \(k'^2 - k''^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon'\) et \(2k'k'' = \omega^2\mu_0\varepsilon''\), d'où \(\vec{E} = \vec{E}_0e^{-k''x}e^{i(\omega t - k'x)}\) : l'onde s'atténue au fur et à mesure de sa propagation. Un \(\varepsilon'' < 0\) correspondrait à une amplification (laser).

Aspect énergétique

Vecteur de Poynting \(\vec{R} = \vec{E}\wedge\vec{H}\) : \(\langle\vec{R}\rangle = \vec{u}\,cn'\dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\exp\left(-2n''\dfrac{\omega}{c}x\right)\). Le flux d'énergie décroît exponentiellement avec un coefficient d'extinction \(2k''\), l'énergie étant transférée à la matière sous forme d'échauffement.

Interprétation microscopique : modèle de l'électron élastiquement lié

Présentation du modèle

• Milieu peu dense, non polaire, électrons indépendants soumis à une force élastique \(-m\omega_0^2\vec{r}\), une force de frottement \(-m\Gamma\dot{\vec{r}}\) (collisions) et la force électrique \(-e\vec{E}\) (non relativiste ; oscillateur faiblement amorti, \(\Gamma \ll \omega_0\)).
• En régime forcé : \(\vec{r}_0 = \dfrac{-e\vec{E}_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2 + i\omega\Gamma)}\) et la polarisation \(\vec{P} = -Ne\vec{r}\).

Permittivité complexe

\(\varepsilon_r = 1 + \dfrac{Ne^2}{m\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\omega\Gamma}\), soit \(\varepsilon_r' = 1 + \dfrac{Ne^2}{m\varepsilon_0}\dfrac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\Gamma\omega)^2}\) et \(\varepsilon_r'' = -\dfrac{Ne^2}{m\varepsilon_0}\dfrac{\Gamma\omega}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\Gamma\omega)^2}\) : zones de transparence et zone d'absorption autour de \(\omega_0\).

Zones de transparence (\(\omega \ll \omega_0\))

• Loin de la résonance, \(\varepsilon_r'' \approx 0\) : pas d'absorption, mais \(\varepsilon_r\) dépend de \(\omega\) (dispersion). Le développement donne la formule de Cauchy \(n^2 = A + \dfrac{B}{\lambda^2}\) : \(n\) et \(\lambda\) varient en sens inverse (dispersion par un prisme).
• Vitesse de groupe : \(v_g = \dfrac{d\omega}{dk'} = \dfrac{c}{n' + \omega\,dn'/d\omega} < c\) (formule de Rayleigh) : propagation de l'énergie physiquement acceptable.

Zone d'absorption (\(\omega \approx \omega_0\))

La partie imaginaire prédomine et \(dn'/d\omega < 0\) : dispersion anormale, \(v_g\) et \(v_\varphi\) peuvent dépasser \(c\), la vitesse de groupe n'a plus le sens de vitesse de propagation de l'énergie. Manipulation : dispersion de la lumière blanche et bande d'absorption d'une solution de permanganate dans le vert.

Généralisation : polarisation totale du milieu

Outre les électrons, les ions et autres charges liées, de masses et pulsations propres différentes, contribuent : \(\varepsilon\) est une somme de termes de résonance. Polarisations électronique (\(f_0 \approx 10^{16}\) Hz), ionique (\(10^{12}\) à \(10^{14}\) Hz) et d'orientation (\(f_0 < 10^9\) Hz).

Conclusion

Une permittivité complexe traduit une absorption microscopique d'énergie et un milieu dispersif. Le modèle a ses limites : il faut parfois recourir à la mécanique quantique.

Bibliographie

• Pérez, Électromagnétisme
• H-Prépa, Ondes, 2^e année
• Faroux, Renault, Électromagnétisme, 2^e année