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Leçon de physique n°33 (agrégation) :
Effet de peau. Réflexion des ondes électromagnétiques à la surface d'un milieu conducteur (MP ou 1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Remarques du jury

Savoir exprimer le facteur de réflexion d'un métal réel et expliquer la couleur orangée du cuivre.

Introduction

L'effet de peau caractérise l'absorption d'une onde électromagnétique dans un conducteur : le courant dans un fil ne circule qu'en périphérie à haute fréquence.

Propagation des ondes planes dans un conducteur

Caractéristiques d'un conducteur à basse fréquence

• Charges libres (électrons des métaux), équations de Maxwell et loi d'Ohm \(\vec{j} = \gamma\vec{E}\).
• Conservation de la charge : \(\gamma\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} + \dfrac{\partial\rho}{\partial t} = 0\), d'où \(\rho = \rho_0e^{-t/\tau}\) avec \(\tau = \varepsilon_0/\gamma \approx 10^{-18}\) s pour le cuivre (\(\gamma = 6\cdot10^7\) S/m) : les conducteurs sont localement neutres.
• Courant de déplacement : \(\dfrac{\|\vec{j}_D\|}{\|\vec{j}\|} = \dfrac{\varepsilon_0\omega}{\gamma} \approx 10^{-18}f\) : négligeable même à fréquence élevée.

Équations de Maxwell dans un conducteur

Équation de diffusion \(\Delta\vec{E} - \mu_0\gamma\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}\) et relation de dispersion \(k^2 = -i\mu_0\gamma\omega\).

Épaisseur de peau

\(k = \pm\dfrac{1 - i}{\delta}\) avec \(\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma\omega}}\) ; la solution physique est \(\vec{E} = \vec{E}_0e^{-x/\delta}\cos(\omega t - x/\delta)\) : l'onde est amortie sur l'épaisseur \(\delta\). À haute fréquence, \(\delta \to 0\) et les courants restent en surface. Pour le cuivre : 9,2 mm à 50 Hz, 65 µm à 1 MHz, 6,5 µm à 100 MHz.

Aspect énergétique

\(\langle\vec{\Pi}\rangle = \dfrac{E_0^2}{\sqrt{2}\,\delta\omega\mu_0}\exp\left(-\dfrac{2x}{\delta}\right)\vec{u}_x\) : l'énergie transportée diminue avec la profondeur.

Pertes par effet Joule

La puissance volumique déposée \(-\dfrac{d\langle\Pi\rangle}{dx}\) est égale à la puissance dissipée \(\langle\gamma E^2\rangle = \dfrac{E_0^2}{\delta^2\omega\mu_0}\exp\left(-\dfrac{2x}{\delta}\right)\) : tout se passe comme si le courant était confiné sur l'épaisseur \(\delta\) où agit l'effet Joule.

Réflexion sur un conducteur (incidence normale)

Relations de passage et formules de Fresnel

Continuité de \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) en \(x = 0\) : \(\underline{r} = \dfrac{n_1 - \underline{n}_2}{n_1 + \underline{n}_2}\), \(\underline{t} = \dfrac{2n_1}{n_1 + \underline{n}_2}\), complexes (déphasage). Avec \(\underline{n}_2 = n_2 + i\kappa_2\) : \(R = \dfrac{(n_1 - n_2)^2 + \kappa_2^2}{(n_1 + n_2)^2 + \kappa_2^2}\), \(T = 1 - R\). Interface vide-conducteur : \(\varepsilon_r = 1 + \chi_e\), \(\chi_e = i\dfrac{\gamma(\omega)}{\omega\varepsilon_0}\), \(\gamma(\omega) = \dfrac{\gamma(0)}{1 - i\omega\tau}\).

Basses fréquences (\(\omega\tau \ll 1\))

\(\underline{n} \approx \sqrt{\dfrac{\gamma}{2\omega\varepsilon_0}}(1 + i)\) : on retrouve l'épaisseur de peau. \(\underline{r} \approx -1\) (déphasage de \(\pi\), \(R \approx 1\)) et \(T \approx 2/n\) (pouvoir absorbant du métal) ; à 1 GHz, \(T \approx 2{,}7\cdot10^{-3}\).

Hautes fréquences (\(\omega\tau \gg 1\))

• \(\varepsilon_r = 1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\), pulsation plasma \(\omega_p^2 = \dfrac{ne^2}{m\varepsilon_0}\) (oscillation collective des charges libres).
• \(1/\tau \ll \omega < \omega_p\) : \(\underline{n}\) imaginaire, \(R \approx 1\), \(T \approx 0\). Pour les métaux, \(\omega_p \approx 1{,}6\cdot10^{16}\) rad/s : le visible est totalement réfléchi, c'est l'éclat métallique.
• \(\omega > \omega_p\) : \(n\) réel inférieur à 1, \(R \to 0\) et \(T \to 1\) : les métaux sont transparents aux UV et aux rayons X ; communication avec les satellites à travers l'ionosphère.
• Résumé : réflexion et absorption pour \(\omega < 1/\tau\), réflexion totale entre \(1/\tau\) et \(\omega_p\), transmission au-delà de \(\omega_p\).

Cas limite du conducteur parfait

Pour \(\omega \ll \omega_p\), la réflexion est totale avec un déphasage de \(\pi\) : cela revient à un milieu de conductivité infinie, avec une charge surfacique \(\sigma = \varepsilon_0\vec{n}_{ext}\cdot\vec{E}\) et un courant surfacique \(\vec{j}_s = \vec{n}_{ext}\wedge\dfrac{\vec{B}}{\mu_0}\), colinéaire à \(\vec{E}\) : détection par antenne rectiligne, polariseur à grille.

Application : pression de radiation

Les charges mises en mouvement sont soumises aux forces de Laplace \(\dfrac{d\vec{F}}{dV} = \vec{j}\wedge\vec{B}\), normales et dirigées vers l'intérieur. En intégrant sur l'épaisseur de peau : \(P_{rad} = \dfrac{2\langle\Pi_i\rangle}{c}\), indépendante de \(\omega\) et de \(\delta\), donc valable pour un signal polychromatique.

Conclusion

Dans un conducteur, les porteurs de charge sont libres de se déplacer ; conducteur parfait et conducteur réel ne diffèrent que par la pénétration de l'onde.

Remarques

• Le « courant de déplacement » n'est qu'une notation : il n'y a pas de déplacement de charges.
• Analogie : l'équation \(\Delta\vec{E} = \mu_0\gamma\,\partial\vec{E}/\partial t\) est une équation de diffusion (chaleur, particules, quantité de mouvement).
• Réfraction : l'indice complexe d'un conducteur a une partie réelle grande, l'onde transmise se propage normalement à la surface.
• Dans un conducteur, la force de frottement sur les électrons, \(-\dfrac{m}{\tau}\vec{v}\), traduit les interactions avec les ions du réseau ; à haute fréquence elle disparaît : modèle du plasma.

Bibliographie

• H-Prépa, Ondes, 2^e année
• Pérez, Électromagnétisme
• Faroux, Renault, Électromagnétisme